初三-几何问题之角平分线题型教学文稿.doc

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1、学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T-同步讲解C-专题T-能力提升星级★★★★★★★★教学目标1.掌握角平分线的性质和判定；2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题；3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题；4.学习分析问题、解决问题的能力。授课时间教学内容——几何问题之角平分线题型1.掌握角平分线的性质和判定；2.综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题；3.综合应用垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识解决相关问题；4.学习分析问题、解决问题的能力。一.知识

2、要点详解：1.角平分线的性质定理：（1）角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（2）定理的数学表示：如图1，已知是的平分线，是上一点，若于点，于点，则。（3）定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；（4）角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。2.角平分线性质定理的逆定理：（1）角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（2）定理的数学表示：如图2，已知点在的内部，且于，于，若，则点在的平分线上。（3）定理的作用：用于证明两个角相等或证明

3、一条射线是一个角的角平分线。（4）注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系。3.关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。定理的数学表示：如图3，如果、、分别是的内角、、的平分线，那么：①、、相交于一点；②若、、分别垂直于、、于点、、，则。定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题。（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部。4.关于线段的垂直平分线和角平

4、分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.一.角平分线定理使用中的几种辅助线作法：（如下图示）1.已知角平分线，构造全等三角形；2.已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段；3.已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段。三.角平分线性质定理之联想：1.由角平分线的性质联想两线段相等；2.由角平分线的轴对称性构造全等三角形；3.过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形。模块一.角平分线的对称性：基本图形例

5、题1例1.如图，是的角平分线，，，垂足分别是。连接，交于点。说出与之间有什么关系？证明你的结论。【分析】：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。【解答】：，且证明：平分，，垂足分别是∴在和中：∴∴在和中：∴∴，∴，且。►点评：通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例题2

6、如图，，于，于，和交于点。求证：平分。【分析】：要证平分，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。【证明】：于，于∴在和中∴∴又于，于∴平分。►点评：判定角的平分线时若题目中只给出一个条件或，，那么得出平分这一结论是错误的。例题3例3.如图，在中，，平分，于，在上，。求证：。【分析】：由已知条件很容易得到；要证明，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。【证明】：平分，，∴在与中∴∴。►点评：掌握角平分线的性质和判定固然

7、重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。1.如图，，于，于，下列结论中错误的是(  )　2.如图，中，，，且，，　　求的度数。　　3.已知：，，求证：平分。【提示】过点作、，利用角平分线性质可得。4.如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。求证：。【证明】CD是的平分线，于，于∴，在和中∴∴5.如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于。求证：【证明】连接、，由，，∴，平分，，，∴∴，∴6.如图，//，，是的中点，平分。求证：平分。【证明】：过点E作于F平分，，∴又∴又，∴平分。——角平分线性

8、质定理的逆定理例题4如图，已知在中，，。求证：平分。【分析】：有两种方法证明平分：一是直接利用定义证明；二是利用角平分线的判定，证明点D到角的两边距离相等。仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明