吉林大学概率与统计第7章课件.ppt

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1、第七章参数估计第一节参数的点估计一、点估计问题设总体X的分布函数的形式为已知的F(x,θ),其中x是自变量,θ为未知参数(它可以是一个数,也可以是一个向量).借助于总体X的一个样本(X1,X2,…,Xn),来估计未知参数θ的值的问题,称为参数的点估计问题.点估计的问题就是要构造一个适当的统计量(X1,X2,…,Xn),用样本的一组观察值(x1,x2,…,xn),得到的观察值(x1,x2,…,xn),以此来估计未知参数θ.称统计量(X1,X2,…,Xn)为θ的估计量,称(x1,x2,…,xn)为θ的估计值.二、矩估计法的函数,记作μl=μl()即,l=1,2,…,k.设总体X的分

2、布函数为,其中为k个未知参数.假设总体X的各阶原点矩存在,则E(Xl)是对于总体X的样本(X1,X2,…,Xn),样本的l阶原点矩为,l=1,2,…,k.令μl=Al,l=1,2,…,k,即从上述方程组中解出,分别记作以此作为未知参数的估计量,称为矩估计量.如果样本观察值为(x1,x2,…,xn),则得未知参数的矩估计值为上述估计未知参数的方法就叫做矩估计法.例1设总体X服从参数为的泊松分布,其中>0为未知,又设X1,X2,…,Xn为X的样本,求的矩估计量.解令,即得的矩估计量为.例2设总体X服从参数为的指数分布,其概率密度为其中为未知,又设为X的样本,求的矩估计量.解由于,即

3、因此得到的矩估计量为.例3设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布,a与b为未知,X1,X2,,Xn是来自总体X的样本,求a与b的矩估计量.解令即整理得于是得到a、b的矩估计量为解此方程组得到与的矩估计量为令即解例4设总体X的均值为,方差为,且,但与均未知,又设总体X的一个样本为(X1,X2,,Xn),求与的矩估计量.解由例4可得例5某厂生产一批铆钉,现要检验铆钉头部直径,从这批产品中随机抽取12只,测得头部直径(单位:mm)如下:13.3013.3813.4013.4313.3213.4813.5413.3113.3413.4713.4413.50设铆钉头部直径这一总体X服从正

4、态分布,试求与的矩估计值.注此例说明,无论总体X服从什么分布,样本均值都是总体均值的矩估计量,样本二阶中心矩就是总体方差的矩估计量.三、极大似然估计法1.设总体X为离散型随机变量,其分布律为其中θ为未知参数,取值范围为.设X1,X2,,Xn为来自X的样本,则X1,X2,,Xn的联合分布律为.又设x1,x2,,xn为一组样本值,令称L(θ)为样本的似然函数.(1)若有,使得对一切,有成立,则称为θ的极大(或最大)似然估计值,相应的统计量称为θ的极大(或最大)似然估计量.我们规定,使得的就是θ的极大似然估计值.由于lnx是单增函数,所以与有相同的驻点,因此只需从中解出就是θ的极大似

5、然估计值,称方程(2)(2)为极大似然方程.例6设总体,X1,X2,…,Xn为总体X的样本,求的极大似然估计量.解设样本值为x1,x2,…,xn.由于X的分布律为x=0,1,2,…所以似然函数为令得的极大似然估计值为因此得到的极大似然估计量为例7设一批产品中含有次品,次品率p未知,从中抽取容量为n的样本,求p的极大似然估计量.解从总体中任取一件产品进行观测,其结果可用随机变量X表示如下:则X服从参数为p的(0-1)分布,其分布律为设X1,X2,…,Xn为X的一个样本,观察值为x1,x2,…,xn,则似然函数为令解得p的极大似然估计值为因此p的极大似然估计量为2.设总体X为连续型

6、随机变量,其概率密度为,,θ为未知参数.设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,其观察值为x1,x2,…,xn.则似然函数为(3)似然方程为(4)解出θ的极大似然估计值为(x1,x2,…,xn).极大似然估计量为(X1,X2,…,Xn).例8设总体X的概率密度为其中为未知参数,(X1,X2,…,Xn)为样本,求的极大似然估计量.解设样本值为(x1,x2,…,xn)(xi>0,i=1,2,…,n),似然函数为令得的极大似然估计值为于是得到的极大似然估计量为例9设总体X的概率密度为又设X1,X2,…,Xn为X的样本,求θ的矩估计量与极大似然估计量.解(1)由于令即解得θ的矩估计量

7、为(2)设样本值为x1,x2,…,xn(0<xi<1),似然函数为令解得θ的极大似然估计值为因此,θ的极大似然估计量为3.设总体X的分布中含有k个参数θ1,θ2,…θk,则似然函数是这些未知参数的函数取对数后,求出lnL关于θi的偏导数并令它等于零,得到似然方程组由此方程组解得θi的极大似然估计值.例10设总体,与未知,(X1,X2,…,Xn)为总体X的样本,求与的极大似然估计量.解X的概率密度为设x1,x2,…,xn为样本值,似然函数为令解得与的极大似然估计值为因此,与的极大似然估计量为例

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