同济版大一高数第十一章第五节对坐标曲面积分课件.ppt

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1、高等数学第二十五讲1第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分第十一章2一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)3莫比乌斯带典型单侧曲面:4典型单侧曲面:莫比乌斯带5典型单侧曲面:莫比乌斯带6典型单侧曲面:莫比乌斯带7典型单侧曲面:莫比乌斯带8典型单侧曲面:莫比乌斯带9典型单侧曲面:莫比乌斯带10典型单侧曲面:莫比乌斯带11典型单侧曲面:莫比乌斯带12典型单侧曲面:莫比乌斯带13典型单侧曲面:莫比乌斯带14典型单侧曲

2、面:莫比乌斯带15典型单侧曲面:莫比乌斯带16典型单侧曲面:莫比乌斯带17典型单侧曲面:莫比乌斯带18观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)上侧和下侧内侧和外侧左侧和右侧19其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面积元素在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定20说明:有向曲面同理:21二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量。分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:2223对一般的有向

3、曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则24设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分。下列极限都存在向量场若对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.均称为投影元素其中:25引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式:263.性质(1)若之间无公共内点,则

4、(2)用ˉ表示的反向曲面,则换侧变号性质27三、对坐标的曲面积分的计算法28取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,定理:设光滑曲面29•若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则30计算时应该注意1、对于不同坐标的曲面积分,应有不同的表达式。并分别代入被积函数中消去一个变量。2、根据的表达式确定它在某个坐标面上的投影区域.3、化为二重积分+、-号的确定必须根据指定的侧决定。31解:把分为上下两部分根据对称性思考:下述解法是否正确:例1.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第五卦限部分.上侧下侧3233例2:计算解:34由对称性可得:特别此题改为:35例3.

5、计算其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:利用对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧36四、两类曲面积分的联系其中:代入上式有:第二型曲面积分化为第一型曲面积分的关键是如何求出37令向量形式(A在n上的投影)38例1.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:39例2.计算曲面积分解:利用两类曲面积分的联系,有其中球面取外侧。40例3.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧。41原式=原式=42内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系43性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲面积分的定

6、义一个与的方向无关,一个与442.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类:面积投影第二类:有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面。注:二重积分是第一类曲面积分的特殊情况。转化45当时,(上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式。46思考与练习1.P228题2提示:设则取上侧时,取下侧时,2.P246题13.P228题3(3)47是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出的法方向余弦,转化成第一类曲面积分P229题3(3).设48

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