同济版大一高数第九章第五节隐函数的求导公式课件.ppt

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1、高等数学第十讲1第九章第五节一、一个方程所确定的隐函数及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数的求导公式2例:已知二元方程求解法1:显式求导法解法2:隐式求导法方程两边同时对x求导.现学习了多元函数、偏导数的概念和多元复合函数的求导法,一般求导公式。就能给出一元隐函数的求导定理及3一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数则方程单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)定理证明从略,仅就求导公式推导如下:①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足②③满足条件导数4两边对x求导在的某邻域内则5例1.验

2、证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解:令连续,由定理1可知,①导的隐函数则②③在x=0的某邻域内方程存在单值可且并求67两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此时导数的另一求法—利用隐函数求导代入导数方程得8解法1令则例29解法2:例2原方程为10定理2.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足①在点满足:②③某一邻域内可唯一确11两边对x求偏导同样可得则12解法1利用隐函数求导公式设例3设是由方程所确定,13例3设解法2利用微分形式的

3、不变性有是由方程所确定,14例4.设解法1利用隐函数求导再对x求导是由方程所确定,15解法2利用公式设则两边对x求偏导16解法3利用全微分形式不变性则两边同时微分17例5:设解:利用微分形式的不变性有是由方程所确定,18例6已知求解:由两边对x求导,得19例7设函数解法1令是由方程所确定,其中F具有二阶连续偏导数,求20例7设函数解法2两边同时微分是由方程所确定,其中F具有二阶连续偏导数,求21例8.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.确定的隐函数,则已知方程故22对方程两边求微分:解法2微分法:例8.设F(x,y)具有连续偏导

4、数,已知方程23注:解法3方程两边同时对求导。同理解出略!例8.设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程24二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由F、G的偏导数组成的行列式称为F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即25解:二元线性代数方程组解的公式用高斯消去法为系数行列式26例1.设解:方程组两边对x求导,并移项得求练习:求答案:由题设故有27例2:已知方程组解:由题目已知是由方程组所确定的隐函数。方程组两边同时对x求导.28例3:已知求解:由题目分析可知:方程组两边同时

5、对x求偏导得:29例4.设是由方程和所确定的函数,求解法1分别在各方程两端对x求导,得(99考研)30解法2微分法.对各方程两边分别求微分:化简得消去可得31例5分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,设解:两个隐函数方程两边对x求导,得(2001考研)解得因此32内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思考与练习设求33解.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.由dy,dz的系数即可得343.若函数的某邻域内具有连续偏导数,则有连续偏导数①在

6、点满足:②③35雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.36

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