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《寻找最佳路线――-从三角形费马点到立体图形的最佳路线.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、寻找最佳路线——从三角形费马点到立体图形的最佳路线一、课题的起源我们知道，在一个三角形中，使到各个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点，费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°(在三个内角皆小于120°的三角形的情况下)。那么又该如何证明费马点到三角形的每个顶点距离之和最小呢?而寻找三角形费马点的方法又有什么呢？费马点到三角形的每个顶点距离之和可有公式？进一步讲，在边数大于三的多边形中，到多边形每个顶点距离之和最小的点（可以只是一个点也可以是多个点）的寻找是否同样也存在着规律呢而它们的性质和三角形的费马点的性质又是否一样呢？再进一步的说在平面组合几何，甚至在立体
2、几何中又该如何确定最短路线？二、演算与研究i)费马点到三角形的每个顶点距离之和最小的证明（1）当有一个内角大于等于120度时候对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP,PC'=PC，（说了这么多，其实就是把△APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+P'C'>BC'=AB+AC所以费马点A（由定义可知）到每个顶点
3、距离之和最小（2）当所有内角都小于120°时做出△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任意一个异于P的点P'，连结P'A,P'B,P'C，过P'作P'H垂直EF于H易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S则有2S=d(PA+PB+PC)∵P'A≥P'H所以2S△EP'F≤P'A×d同理有2S△DP'F≤P'B×d2S△EP'D≤P'C×d相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P'重合时取到等号所
4、以费马点P（由定义可知）每个顶点距离之和最小 ii)三角形的费马点的作法 （1）三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.（2）若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.（3）当△ABC为等边三角形时,此时两条角平分线（中线、高线）的交点与费马点重合iii)费马点到三角形的每个顶点距离之和的公式（1）当有一个内角大于等于120度时候，△ABC的费马点在钝角的顶点A，费马点到各顶点的距离等于AB＋AC（2）当
5、所有内角都小于120°时△ABC的费马点为使连接三顶点所成的三夹角皆为120°的点P，不妨设AB=a,AC=b,BC=c,所对的角分别为A、B、C，PA=x,PB=y,PC=z,在△ABP,△APC,△BPC中用余弦定理,可得x²+y²+xy=a²①y²+z²+yz=b²②x²+z²+xz=c²③再由△ABP,△APC,△BPC的面积和与△ABC的面积相等，可得xy+xz+yz＝×④①＋②＋③＋3×④得，2×(x+y+z)²=a²+b²+c²+化简得，(x+y+z)＝三、进一步探索以上我们研究的是三角形的费马点的相关问题，接下来让我们讨论一下在边数大于三的多边形中，到
6、多边形每个顶点距离之和最小的点的寻找是否同样也存在着规律呢而它们的性质和三角形的费马点的性质又是否一样呢？（因为初中阶段对凹多边形不做要求，所以在此只讨论凸多边形的情况）图一图二图三首先来讨论四边形里到每个顶点距离之和最小的点的情况，如果只在四边形内找一个使路程最短的点的话，则此点即为该四边形的对角线的交点证明如下：∵对角线为直线∴对角线为A、C之间的最小距离同理对角线为B、D之间的最小距离∴对角线的交点P为四边形ABCD内之一点使得到四个顶点的距离和为最小值（图略）当所要寻找的使四边形里到每个顶点距离之和最小的点有多个时，连接此四边形的对角线，分别作对角线分割而成的
7、左右（或上下）两三角形的费马点并与其所有顶点相连（如图一），测量其连结点处的夹角均为120°证明如下：连接四边形的对角线，分别作对角线分割而成的左右（或上下）两三角形的费马点并与其所有顶点相连∵经过对角线的分割，上述问题就成了找到对角线分割而成的左右（或上下）两三角形的费马点的问题(而三角形的费马点是最短路线上面已经证过啦,在此便不再证明了)上述图形称为史坦纳树（史坦纳树是寻找已知各点间最短路径的最佳化问题我们可发现这些点中加入若干规则性的点再加以连接可得最短路径而这些线段会构成一个树状的网络故得名）所找到的点称为史坦纳点（与费马点有一点相似，但不同
