导数专题之函数零点与方程问题教师版.doc

导数专题之函数零点与方程问题教师版.doc

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1、导数专题之函数零点与方程问题函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.1.有关

2、函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.2.三个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.3.(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法:①解方程法;②零点存在性定理、结合函数的性质;③数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数.(3)已知函数零点情况

3、求参数的步骤①判断函数的单调性;②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组);③解不等式(组),即得参数的取值范围.(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围.(5)“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数y=f(x)的值域解决.例1.函数f(x)=的零点个数是____.解析:当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-∞,0]上有一个零点.当x>0时,f′(x)=2+>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln2<0,f(3)=ln3

4、>0,所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2.类型二、求参数的值或范围例2.若函数f(x)=xlnx-a有两个零点,则实数a的取值范围为________.类型三、研究函数图像的交点个数例3、已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.解析:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.

5、由题设得-=-2,所以a=1.(2)证明:由(1)知f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由题设知1-k>0.当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2

6、)=0.所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根.综上,g(x)=0在R上有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.例4.设函数f(x)=lnx+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)=f′(x)-零点的个数;解析:(1)由题设,当m=e时,f(x)=lnx+,则f′(x)=,∴当x∈(0,e),f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞),f′(x)>0,f(x)在(e,+∞)上单调递增,∴x=e时,f(x)取得极小值f(e)=l

7、ne+=2,∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)=f′(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减.∴x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,∴φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象(如图),可知①当m>时

8、,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.例3.(2017

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