常用的基本不等式课件.ppt

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1、常用的基本不等式利用四个全等的直角三角板，拼成一个会标图案——勾股弦图。观察拼图，图中大正方形面积与四个三角形面积有何关系？那么是否仅当a=b时等号成立呢？重要不等式：拼图中a、b表示线段的长度，因此要求a、b>0时成立。提问：是否可以由特殊的a、b>0，推广到对任意实数a、b都成立呢？如果可以，请证明；如果不可，请举一个反例说明。证明：由上面的结论我们又可以得到：定理如果a、b是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。证明：说明：（1）我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数，因而，此定

2、理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。（2）成立的条件是不同的，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数。（3）“当且仅当”的含义是充要条件。均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”ABCDD'对于均值定理的两个变形例1已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值证明：例1已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值

3、（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值证明：说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数；（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在以上三点十分重要，简单的说再利用均值定理解题时一定要遵循：一正、二定、三相等。例2求下列各式的最小值（1）（2）（3）（4）（4）解：（典型错解）违背了要凑定值这个原则推广：三元均值不等式关于“平均数”的概念语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。绝对值三角不等

4、式在数轴上，你能指出实数a的绝对值│a│的几何意义吗？0a│a│那么，│a+b│的几何意义呢？