无穷级数复习课件.ppt

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1、习题课第九章无穷级数三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数展开法一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法主要内容求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散性；求幂级数收敛域；求和函数；函数展开成幂级数.当时为数项级数;当时为幂级数;为傅立叶级数.为傅氏系数)时,*当对于函数项级数1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用其它方法判别*积分判别法部分和极限比值审敛法一、数项级数的审敛法正项级数比较审敛法设与是两个正项级数，且则：⑴若级数收敛

2、，则级数也收敛；⑵若级数发散，则级数也发散.常用来比较的级数：级数当时收敛，当时发散.（1）例如（2）等比级数例如极限形式的比较审敛法设与是两个正项级数，且⑴若则级数与级数同时收敛，同时发散；⑵若且级数收敛，则级数收敛；⑶若且级数发散，则级数发散.3.任意项级数审敛法Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,为收敛级数，概念:设且余项若收敛,称绝对收敛,若发散,称条件收敛.例1判别下列级数的敛散性:解答提示:(1)据极限形式的比较判别法,原级数发散.因调和级数发散,利用比值判别法,可知原级数发散.再由比较法可知原级

3、数收敛.用比值法,可判断级数收敛,利用比值判别法,可知原级数在时发散，时收敛；时仅当收敛.例2讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:(1)P>1时,绝对收敛;0

4、1）∴解：收敛区间因为所以收敛域2）∴解：收敛区间(-1,3).因为所以原级数收敛域为[-1,3).1）解：∴∴，原级数收敛.例5求下列幂级数的收敛半径R.2）解：时收敛.∴∴•求部分和式极限•初等变换法:分解、套用公式•映射变换法（在收敛区间内）逐项求导或求积分难对和式积分或求导求和直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等数项级数求和三、幂级数和函数的求法熟悉常用函数的幂级展开式：1、2、3、4、5、等比级数：注意：例6求幂级数的和函数.解法1：先求出收敛区间则设和函数为解法2：易求出级数

5、的收敛域为，原式例7求幂级数的和函数.解:先求出收敛区间设和函数为x≠0，∴显然x=0时上式也正确,故和函数为而在级数发散,求例8的和函数.解：∵∴收敛域为（-1，1）.设∴发散，当，发散.当解:原式=的和.*例9（直接法)求级数（参见例6，也可用间接法解本题.）（间接法）求数项级数和：将其转化成幂级数求和函数问题.原式推广：，.例10求的和.求∵∴，收敛区间为（-1，1）.代入，发散，发散.∴收敛域为（-1，1）.例11求的和.代入求和:解：设•间接展开法—利用已知展式的函数及幂级数性质•直接展开法—利用泰勒公式

6、四、函数的幂级数展开法熟悉常用函数的幂级展开式：1、2、3、4、5、等比级数：例121）2）3）4）∵∴∴例13将函数展开成x的幂级数.解:练习题练习题简答一、1.B；2.B；3.B；4.C；5.D；6.C；7.D；8.A.二、条件收敛.三、.四、1.；2..五、六、七、