江西 程峰 《当点在直角梯形上运动》修改稿.doc

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1、当点在直角梯形上运动江西省彭泽县杨梓中学(332713)程峰笔者发现2010年中考数学试题中多次出现以直角梯形为背景的问题,而双动点在梯形上运动使这类问题成为亮点,下面笔者采撷几道试题加以解析,从中体会这类试题的特点。1双动点牵出等边三角形例1如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,BC=6,AD=3,∠DCB=30°.点E、F同时从B点出发,沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍,以EF为一边在CB的上方作等边△EFG.设E点移动距离为x(x>0).(1)△EFG的边长是____(用

2、含有x的代数式表示),当x=2时,点G的位置在_______;(2)若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y,求①当0<x≤2时y与x之间的函数关系式;②当2<x≤6时,y与x之间的函数关系式;BE→F→CADG⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时,存在最大值,并求出最大值.图1分析(1)由题意可知EF的长为E点移动距离为x,由此可以发现当x=2时,点G的位置在D点;(2)①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,重叠部分为△EFG;②当2<x<3时,如图2,点E、点F在线段BC上,△EFG与梯形ABCD重叠部分为

3、四边形EFNM;当3≤x≤6时,如图3,点E在线段BC上,点F在射线CH上,△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP;(3)在三个取值范围内,分别求出其最大值,再进行比较,确定出最大值.解⑴x,D点;⑵①当0<x≤2时,△EFG在梯形ABCD内部,所以y=x2;②分两种情况:Ⅰ.当2<x<3时,如图2,点E、点F在线段BC上,△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM,因为∠FNC=∠FCN=30°,所以FN=FC=6-2x.所以GN=3x-6.由于在Rt△NMG中,∠G=60°,所以,此时y=x2-(3x-6)2

4、=.Ⅱ.当3≤x≤6时,如图3,点E在线段BC上,点F在射线CH上,△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP,因为EC=6-x,所以y=(6-x)2=.⑶当0<x≤2时,因为y=x2在x>0时,y随x增大而增大,所以x=2时,y最大=;当2<x<3时,因为y=在x=时,y最大=;当3≤x≤6时,因为y=在x<6时,y随x增大而减小,所以x=3时,y最大=.综上所述:当x=时,y最大=.BEFCADGNM图2BECFADGPH图3点评本题主要考查图形的平移、多边形面积的计算、二次函数等知识,同时考查函数、分类讨论等数学思

5、想和运动的观念,以及综合运用知识解决问题的能力.具有明显的区分度.具有很强的选拔功能2双动点牵出等腰三角形例2如图4,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,AB=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的周长;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动;过点Q作QF⊥BC于点F.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B→A上运动时,是否存在这样的t,使得直线

6、PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.图4分析(1)容易想到作直角梯形底边上的高,应用勾股定理间接计算底边BC长从而得到梯形周长;(2)①两点运动t秒,BP=CQ=t,得方程t+t+8=梯形周长的一半,计算出t值;②分点P在AB,AD,DC上三种情况分别讨论.解(1)梯形ABCD的周长=28提示:如图5过点D作DE⊥BC于点E(2)

7、①当t=3时,PQ平分梯形ABCD的周长.(过程略)②(i)当0≤t≤8时,过点Q作QG⊥AB于点G∵AP=8-t,DQ=10-t,AD=2,sinC=,cosC=∴CF=,QF=,PG==,QG=8-=(8-t)2+22=t2+16t+68,PQ2=QG2+PG2=(8-)2+()2=若DQ=PD,则(10-t)2=t2+16t+68,解得:t=8;图5若DQ=PQ,则(10-t)2=,解得:t1=,t2=>8(舍去),此时t=;(ii)当8<t<10时,PD=DQ=10-t,∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立;

8、而当t=10时,点P、D、Q三点重合,无法构成三角形;(iii)当10<t≤12时,PD=DQ=t-10,∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立;点评试题以动点作为命题的出发点,题目呈开放式.由于设置了双动点,加大了试题的复杂性,对学生探究发现的力度也相应提高.解决此类问题关键要有联系、迁移、发散的动态观念,整体地分析,把握题中的

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