热力学统计物理 第八章 课件.ppt

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1、第八章玻色统计和费米统计§8.1热力学量的统计表达式由第7.2节可知，非简并条件可以表达为或nλ3<<1满足上述条件的气体称为非简并气体，不论是由玻色子还是费米子构成，都可以用玻尔兹曼分布处理。不满足上述条件的气体称为简并气体，需要分别用玻色分布或费米分布处理。玻色系统将α、β和y看作已知参量，系统的平均总粒子数引入一个函数，名为巨配分函数，定义为取对数得由此系统的平均总粒子数可通过lnΞ表示为内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值，可将U通过lnΞ表示为外界对系统的广义作用力Y是∂εl/∂

2、y的统计平均值可将Y通过lnΞ表示为此式的一个重要特例是由上面平均总粒子数、内能、广义力的表达式可得注意lnΞ是α、β、y的函数，其全微分为故有此式指出β是的积分因子。在热力学中讲过，对于开系，有积分因子1/T，使上两式比较可知所以积分得将前面lnΞ的表达式代入上式，并与第6.7节公式比较，得S=klnΩ此式就是熟知的玻尔兹曼关系，它给出熵与微观状态数的关系。费米系统对于费米系统，只要将巨配分函数改为其对数为则前面得到的所有热力学量的统计表达式完全适用。┣如果知道粒子的能级和简并度，并将的求和计

3、算出来，就可以求得巨配分函数的对数作为α、β、y的函数，进而可求得理想玻色（费米）系统的基本热力学函数，从而确定系统的全部平衡性质。lnΞ是以α、β、y（对简单系统即T、V、μ）为自然变量的特性函数。在第3.2节中讲过，以T、V、μ为自然变量的特性函数是巨热力势与上面熵的表达式比较，可得巨热力势J与巨配分函数的关系J=-kTlnΞ§8.2弱简并理想玻色气体和费米气体§8.3玻色-爱因斯坦凝聚考虑由N个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度为T、体积为V。假设粒子的自旋为零，根据玻色分布，处在能级εl

4、的粒子数为显然，处在任一能级的粒子数都不能取负值。这要求对所有能级εl均有以ε0表示粒子的最低能级，这个要求也可以表达为ε0>μ即是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能量的零点，即ε0=0，则有μ<0化学势μ由公式确定，为温度T和粒子数密度n=N/V的函数。εl和ωl都与温度无关，在粒子数密度n给定的情形下，温度愈低，μ值必然愈高（

5、μ

6、愈小）。利用第6.2节公式将上式的求和用积分代替，可将之表达为化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度TC时，μ将趋于

7、-0。这时，趋于1。临界温度TC由下式定出令x=ε/kTC，上式可表为由积分可得对于给定的粒子数密度n，临界温度TC为温度低于TC时会出现什么现象？在T0的粒子数密度nε>0。在第二项中已取极限μ→-0。首先计算上式中的第二项。令x=ε/kT，得将此式代回上式得，温度为T时处在最低能级ε=0的粒子数密度由此可知，在TC以下n0与n具有相同的量级，n0随温度的变化如图。这一现象称为玻色-爱因斯坦凝聚，简

8、称玻色凝聚。TC称为凝聚温度。凝聚在ε0的粒子集合称为玻色凝聚体。凝聚体不但能量、动量为零（对压强无贡献），由于凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。在T0的粒子能量的统计平均值其中x=ε/kT。将积分求出，并将临界温度TC的表达式代入，得定容热容为此式指出，在T

9、关联起着决定性作用。故而此式是理想玻色气体出现凝聚的临界条件。出现凝聚体的条件为nλ3≥2.612由此可知，可以通过降低温度和增加气体粒子数密度的方法实现玻色凝聚。§8.4光子气体平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关u=aT4根据粒子的观点，可以把空窖内的辐射场看作光子气体。普朗克公式由德布罗意关系以及关系式ω=ck，可得光子的能量动量关系ε=cp光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。故在导出玻色分布时只存在E是常数的条件，因而

10、只应引进一个拉氏乘子β。光子气体的统计分布为因为α=-μ/kT,α=0意味着平衡状态下光子气体的化学势为零。光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向的投影可取±ħ两个可能值。由第6.2节公式可知，在体积为V的空窖内，在p到p+dp的动量范围内，光子的量子态数为由光子的能量动量关系又可得，在体积为V的空窖内，在ω到ω+dω的圆频率范围内，光子的量子态数为平均光子数为辐射场的内能则为此式称为普朗克公式，所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。对普朗克公式积分，可求得平衡辐射的内能