伟大的康托与集合论.doc

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1、简介　　    集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。　　在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。　　在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。对集合论的异议　　一开始，有些数学家拒绝将集合论当做数

2、学的基础，认为这只是一场含有奇幻元素的游戏。埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学，应该留给上帝”。而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗-弗兰克尔集合论有关。维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过。　　对集合论最常见的反对意见来自结构主义者，他们认为数学是和计算些微相关着的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。　　拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案，如结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。集合论（Settheory）作用　　按现代数

3、学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础。历史　　集合论作为数学中最富创造性的伟大成果之一，是在19世纪末由德国的康托尔（1845－1918）创立起来的。但是，它萌发、孕育的历史却源远流长，至少可以追溯到两千多年前。无穷集合的早期研究概念　　集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。集合作为数学中最原始的概念之一，通常是指按照某种特征或规律结合起来的事物的总体。例如美国国会图书馆的全部藏书，自然数的全体以及直线上所有点的总体等等。集合论的

4、全部历史都是围绕无穷集合而展开的。创立之前　　早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题，古希腊的学者最先注意并考察了它们。公元前5世纪，埃利亚学派的芝诺（约公元前490－前430），一共提出45个悖论，其中关于运动的四个悖论：二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名，前三个悖论都与无穷直接有关。芝诺在悖论中虽然没有明确使用无穷集合的概念，但问题的实质却与无穷集合有关。　　在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是无穷过程，称为潜在无穷，一种是无穷整体，称为实在无穷。希腊哲学家亚里士多德（前384－

5、前322）最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别，这种思想在当今仍有重要意义。他认为只存在潜在无穷，如地球的年龄是潜在无穷，但任意时刻都不是实在无穷。他承认正整数是潜在无穷的，因为任何正整数加上1总能得到一个新数。对他来说，无穷集合是不存在的。　　哲学权威亚里士多德把无穷限于潜在无穷之内，如同下了一道禁令，谁敢冒天下之大不韪，以至于影响对无穷集合的研究达两千多年之久。创立过程　　公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯（410－485）是欧几里德《几何原本》的著名评述者。他在研究直径分圆问题时，注意到圆的一根直径分圆成两个半圆，由于直径有无穷多，所以必须有两倍无穷多的半圆。为了解

6、释这个在许多人看来是一个矛盾的问题，他指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或者半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆，也就是说，无穷只能是一种观念，而不是一个数，不能参与运算。其实，他这里是接受了亚里士多德的潜无穷的概念，而否认实无穷的概念，对这种对应关系采用了回避的态度。　　到了中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。例如，数学家们注意到把两个同心圆上的点用公共半径联结起来，就构成两个圆上的点之间的一一对应关系。近代科学的开拓者伽利略（1564－1642）注意到：两个不等长的线段上的点可以构成一一对应。他又注意

7、到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”，不过伽利略认为这是不可能的。他说，所有无穷大量都一样，不能比较大小。　　到了十七世纪，数学家把无穷小量引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。所谓积分法无非是无穷多个无穷小量加在一起，而微分法则是两个无穷小量相除。由于无穷小量运算的引进，无穷大模大样地进入数学，虽然它给数学带来前所未有的繁荣和进步，它的基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑，他们对无穷仍然心存疑虑，这方面以“数学家之王”高斯（1777—1855）的意见为代表。