同一例题的同“命运”.doc

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1、同一例题的不同“命运”本文所录是最近笔者在高三两个班级讲解同一道例题却意外地经历了完全不同的教学过程的事情。这道例题是这样的：“已知函数f(x)=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负半轴有公共点，求实数m的取值范围。”以下是发生在甲班的教学过程。教师：大家在解此类问题时，是否通常考虑作出f(x)的草图？（得到肯定回答后）而f(x)的图象位置依赖于m的取值，那么分类讨论的着眼点该如何确定？学生甲：讨论图象的“开口”。学生乙：讨论图象与x轴的交点。师：好，下面我们选一种思路试试看如何？（“试学生甲的”

2、，有学生建议）那就讨论“开口”吧。（教师开始板演）解：（讨论“开口”，解题结构为）(1)m=2时，f(x)=-8x-2,符合题意。(2)m＜2时，符合题意的草图如下：或或f(0)＞0.或或2m-6＞0.所以1≤m＜2.(上述第一步主要由教师给出，后两步则主要由学生完成。)（3）m＞2时，符合题意的草图如下：或或f(0)＜0.所以2＜m＜3.综合（1）（2）（3）得，所求m的范围是1≤m＜3。教师：本题就解到此。留两个问题课后自己研究①本题可否简化？②试一试同学乙“讨论交点”的思路。至此，仅用13分钟便完成了这

3、一例题的讲解。教师认为目的已经达到，按预先教案，依次讲完其余四个例题。以下是乙班的授课记录（教案同甲班）。与甲班一样，出示例题后教师提问“分类讨论的着眼点该如何确定？”生A：讨论“”。生B：讨论f(x)=0的根。师（突然想换一种授课方法）：请两位同学上黑板尝试一下。生A的板演：（解不等式过程略）（1）Δ=0时，m=1或m=-6，经检验，m=-6时函数图象与x轴的负半轴无公共点，舍去。（2）Δ＞0时，或或1＜m＜2或2＜m＜3.综合（1）、（2）得，m的范围是1≤m＜2或2＜m＜3生B的板演：（1）m=2时，f

4、(x)=0.即得x=，符合题意。（2）m2时，f(x)=0的根有三种情形。或或1≤m＜2或m或2＜m＜3..综合（1）、（2）得，m的范围是1≤m＜3。师（讲评）：①A同学为何会遗漏m=2？（稍许由其自我纠正）②B同学的解题过程有两处细节请大家注意。其一（m-2）f(0)＜0是怎么回事？（B同学解释其几何意义）；其二与是否等价？（这一问，引起一点“波动”，但很快也达成了共识。）至此，该例的教学本应结束，并且课已进行了25分钟。可不知是受到学生的感染，还是教师希望出现在甲班上演过的讨论“开口”方法，教师不经意地

5、问了一声：“有不同解法吗？”不问则罢，一问果真还有下文：生C：我的列式与A、B都不同，但结果一样。生D：我不知道自己列的式对不对，好象答案没错。（学生一片笑声。）师（教师既受到鼓舞又担心时间，但还是决定让学生继续展示不同的想法）：请两位同学到黑板上展示一下自己的过程。此时，教室内一片寂静，大家都在期待看到新的解法。生C的板演：m=2时，符合题意。m2时，或（教师插话：只要写到这里）生D的板演：m=2时，符合题意；m2时，或师（怎么办？只能继续讲评，并且是边思考，边组织语句）：首先，C同学所列条件有误，但为何不

6、影响最终结果？（与前两位同学所列条件比较后，马上发现不少漏洞，如有一根为零没有考虑，但巧的是，遗漏部分的解集为。）其次，D同学所列的条件也有问题，如，还是应该还是呢？凑巧的是。所以漏掉（或）又不影响结论。进一步分析“，或”的含义，改用“图形”语言，直观地看一看如何？（a）（b）（c）（d）（e）从中可见，（a）（b）（c）（d）（e）五种情形中有的被重复考虑了，如(a)和（d）。但重要的是所有可能的情形没有漏掉。所以，结论一定是正确的！这时，离下课只剩6分钟了，再讲其余例题时间来不及，干脆继续让学生彻底地展示

7、他们的想法吧。“还有不同方法吗？”话音刚落，“有！”生E上黑板开始板演：m=2时，符合题意；m2时，或（抬头问是否要写下去？教师点头示意继续。）或或或“滴铃……”写到这里，下课铃响了，该生无奈地回到座位上，最终站着讲了一句话：“我这个方法可称为：直接求小根法。”如此“一发不可收”，让教师既意外又激动，高声道：“首先，我们一齐用掌声来欢呼刚刚共度的45分钟美好时光（掌声热烈）！可惜时间有限，不能继续，下一节课我们仍将讨论本例题的解法，说不定，我也来凑凑热闹！下课！”（掌声又起。）走出教室，我心潮难平，眼前浮现出

8、学生们一张张灿烂微笑着的脸，我的热情也给调动起来了，仿佛我也是他们中的一员，拿起纸笔演算起来：f(x)=m(x2-4x+2)-2x2-6令x2-4x+2=0x=故f(x)的图象必过定点P（）及Q（）从而（1）m<2时，只有一种情况：（2）m>2时，也只有一种情况：,又m=2符合题意，故m的取值范围是（下列四种草图所示情形均不可能。故将其中之一遗漏均不影响最后答案。）  第二天，教师在乙班接着完成了下