科学计算与数学建模 第六章课件.ppt

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1、科学计算与数学建模中南大学数学科学与计算技术学院——回归问题第六章回归问题——线性方程组求解的迭代法回归问题6.1线性方程组迭代法概述6.2迭代法6.3关于回归模型的求解6.42点击进入点击进入点击进入点击进入6.1回归问题3点击进入点击进入点击进入点击进入6.1.1问题的导入在数理统计中，把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的每个单元称为个体，要了解总体的规律性，必须对其中的个体进行统计观测。但若对全部个体进行观测，这样能对总体有充分的了解，但实际上行不通，而且也不经济。所以对整体进行随机抽样观测，再根据抽样观察的结果来推断总体的性质成为一种重要的方法。许多数理统计建模的实际问题中

2、，一个随机变量与另一个随机变量的关系不是线性关系，而是曲线关系，那么如何确定回归方程呢？4x202530354050606570758090y1.811.701.651.551.481.401.301.261.241.211.201.18下表给出了某中产品每件平均单价y（元）与批量x（件）之间的关系的一组数据，试确定y与x的函数关系。表6.1.1已知数据5先将表6.1.1中的数据进行曲线拟合，然后经过拟合的曲线形状确定回归方程的次数。用MATLAB做出拟合图如下，由下图知,可建立二次回归多项式模型。67图6.1.1散点图6.1.3模型的假设假设上表给出的数据是真实的，且以上数据是随机抽

3、取的可以较准确的推断单位与批量的关系，假设单价与批量的函数关系是一个多项式函数，可用多项回归来建立模型。86.1.4模型的建立根据模型的分析，可以建立多项式模型令,则回归方程可写成这是一个二元线性回归模型。且，其中：9106.2线性方程组迭代法概述迭代法概述11迭代法迭代矩阵迭代法：即用某种极限过程逐步逼近线性方程组精确解的方法。迭代法具有需要计算机存储较少、程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点，但有收敛性或收敛速度的问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组得重要方法。迭代法则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方

4、程组。12迭代法的基本思想迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法。13对线性方程组，其中非奇异矩阵，。构造其形如的同解方程组,其中M为n阶方阵，。14任取初始向量，代入迭代公式产生向量序列，当k充分大时，作为方程组AX=b的近似解，这就是求解线性方程组的单步定常线性迭代法。M称为迭代矩阵。156.3迭代法6.3.1Jacobi迭代法6.3.2Gauss-Seidel迭代法6.3.3迭代法的收敛性迭代法166.3.4超松弛代法6.3.1Jacobi迭代法对Ax=b，设det(A)≠0，（6.3.1)将A改写成

5、：(6.3.2)17又将A分裂为：A=M-N，则(6.3.1)等价于Mx=Nx+b(6.3.3)其中M应选择为一个非奇异阵。并使Mz=f容易求解。对应(6.3.3)可构造一个迭代过程：初始向量,(6.3.4)特别地，若选取M=D则N=M-A=L+U从而(6.3.1)化为：18可得：Jacobi迭代公式：（初始向量），其中：(6.3.5)J称为Jacobi迭代的迭代矩阵。Jacobi迭代的分量形式：引进记号：为第k次近似，由6.3.5有：1920(6.3.6)Jacobi迭代公式简单，由公式(6.3.5),(6.3.6)可知，每迭代一次只需计算一次矩阵与向量乘法，计算机中只需要两组工作单

6、元用来保存及且可用来控制迭代终止。由迭代计算公式可知，迭代法一个重要特征是计算过程中原来矩阵A数据始终不变。21例6.3.1用Jacobi迭代法求下面线形方程组，其精确解是,22解先将Ax=b转化为等价方程组：迭代公式：选取初始向量,23经10次迭代解：误差为：246.3.2Gauss-Seidel迭代法在(6.3.3)中选取M=D-L（下三角阵），则N=M-A=U，从而(6.3.1)化为等价的(D-L)x=Ux+b(6.3.7)可得Gauss-Seidel迭代公式：初始向量，其中G称为Gauss-Seidel迭代矩阵25G-S迭代法的分量形式为：记有迭代公式(6.3.9)，26Gau

7、ss-Seidel迭代法每迭代一次只需计算一次矩阵与向量的乘法，但G-S迭代法比Jacobi迭代法有一个明显的优点，那就是计算机上仅需一组工作单元用来保存分量（或分量）当计算出就冲掉旧的分量。由G-S迭代公式(6.3.9)可看出在的一步迭代中，计算分量时利用了已计算出来的新分量(j=1~i─1)。因此，G-S迭代法可以看作是Jacobi迭代法的一个修正。27例6.3.2用G-S方法解下面方程组，其精确解为：28解由(6.3.9)可得本题G-S迭