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1、1．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．2．空间两点间的距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝，
2、AB
3、＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)3.若A、B两点的坐标分别是A(2cosθ，2sinθ，1)，B(3cosα，3sinα，1)，则
4、
5、的取值范围是()A.[0,5]B.[1,5]C.(1,5)D.[1,25]解析：∵＝(3cosα－2cosθ，3sinα－2sinθ，0)，∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴
6、
7、∈[1,5].答案：BA平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂
8、直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有l垂直关系：例2已知平面经过三点A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),试求平面的一个法向量.解:∵A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)∴设平面的法向量是依题意,有,即解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2∴平面的一个法向量是六、夹角：例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值
9、;xyzADBA1D1C1B1解：(1)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，则：A(0,0,0)B1(1,0,1)C(1,1,0)C1(1,1,1)设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),所以X1+z1=0X1+y1=0取x1=1,得y1=z1=-1故n=(1,-1,-1)C故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求:⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值；A（2，0，0）；于是我们有OABCS=
10、（2，0，-1）；=（-1，1，0）；=（1，1，0）；=（0，0，1）；B（1，1，0）；S（0，0，1），则O（0，0，0）；解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示xyzC（0，1，0）；所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为取x=1，则y=1，z=2；故（2）设平面SAB的法向量显然有N解：如图建立坐标系A-xyz,则即在长方体中，例1：N又在长方体中，例1：例二：题型二：线面角在长方体中，例2解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：所以：所以与所成角的余弦值为5.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.解
11、析：如图，建立直角坐标系，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1).设n＝(x，y，z)为平面A1BD的法向量则∴取n＝(1，－1，－1)，设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ＝
12、cos〈n，〉
13、＝＝＝.∴cosθ＝.答案：【巩固练习】1三棱锥P-ABCPA⊥ABC,PA=AB=AC,,E为PC中点,则PA与BE所成角的余弦值为_________.2直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=2,AB=AC=1,则AC1与截面BB1CC1所成角的余弦值为_
14、________.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角.(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.[思路点拨][课堂笔记]以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4.∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M(，0
15、，)，∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，＝(，0，)，(1)令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则令y＝2，得n＝(－，2,1).∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0，∴n⊥，又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD.(2)取AP的中点E，则E(，2,1)，＝(－，2,1).∵PB＝AB，∴BE⊥PA.又∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，∴⊥，∴BE⊥DA，又PA∩DA＝A.∴BE⊥平面PAD，又∵BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD.小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：1.若异面
