2019年考研数学一真题与解析.docx

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1、2019年考研数学一真题解析一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．当时，若与是同阶无穷小，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【详解】当时，，所以，所以．2．设函数，则是的（）（A）可导点，极值点（B）不可导的点，极值点（C）可导点，非极值点（D）不可导点，非极值点【答案】（B）【详解】（1），所以函数在处连续；（2），所以函数在处不可导；（3）当时，，函数单调递增；当时，，函数单调减少，所以函数在取得极大值．3．设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（）（A）（B）(C）（D）【答案】（

2、D）【详解】设是单调增加的有界数列，由单调有界定理知存在，记为；又设，满足，则，且，则对于正项对于级数，前项和：也就是收敛．4．设函数，如果对于上半平面内任意有向光滑封闭曲线都有那么函数可取为（）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【详解】显然，由积分与路径无关条件知，也就是，其中是在上处处可导的函数．只有（D）满足．5．设是三阶实对称矩阵，是三阶单位矩阵，若，且，则二次型的规范形是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【详解】假设是矩阵的特征值，由条件可得，也就是矩阵特征值只可能是和．而，所以三个特征值只

3、能是，根据惯性定理，二次型的规范型为．6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而；（2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以；7．设为随机事件，则的充分必要条件是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【详解】选项（A）是互不相容；选项（B）是独立，都不能得到；对于选项（C），显然，由，8．设随机变量与相互独立，且均服从正态分布．则（）（A

4、）与无关，而与有关（B）与有关，而与无关（C）与，都有关（D）与，都无关【答案】（A）【详解】由于随机变量与相互独立，且均服从正态分布，则，从而只与有关．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．设函数可导，，则．【答案】解：10．微分方程满足条件的特解为．【答案】【详解】把方程变形得，即由初始条件确定，所以．11.幂级数在内的和函数.看不清楚题目是还是，我以给出解答．【答案】【详解】注意，从而有：12．设为曲面的上侧，则．【答案】【详解】显然曲面在平面的投影区域为13．设为三阶

5、矩阵，若线性无关，且，则线性方程组的通解为．【答案】，其中为任意常数．【详解】显然矩阵的秩，从而齐次线性方程组的基础解系中只含有一个解向量．由可知也就是为方程组基础解系，通解为，其中为任意常数．14．设随机变量的概率密度为，为其分布函数，其数学期望，则．【答案】【详解】，．三、解答题15．（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解．（1）求；（2）求曲线的凸凹区间及拐点．【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程．先求解对应的线性齐次方程的通解：，其中为任意常数；再用常数变易法求通解，设为其解，代入方程，

6、得，，也就是通解为：把初始条件代入，得，从而得到（2）令得．当或时，，是曲线的凸区间；当或时，，是曲线的凹区间．曲线的拐点有三个，分别为．16．（本题满分10分）设为实数，函数在点处的方向导数中，沿方向的方向导数最大，最大值为．（1）求常数之值；（2）求曲面的面积．【详解】（1），则；所以函数在点处的梯度为；．由条件可知梯度与方向相同，且．也就得到解出或（舍）．即．（2）．17．（本题满分10分）求曲线与轴之间形成图形的面积．【详解】先求曲线与轴的交点：令得当时，；当时，．由不定积分可得，所求面积为18．（本题满

7、分10分）设（1）证明：数列单调减少，且；（2）求极限．【详解】（1）证明：，当时，显然有，，所以数列单调减少；先设则当时，也就是得到令，则同理，综合上述，可知对任意的正整数，均有，即；（2）由（1）的结论数列单调减少，且令，由夹逼准则，可知．19．（本题满分10分）设是由锥面与平面围成的锥体，求的形心坐标．【详解】先计算四个三重积分：，，．从而设形心坐标为．注：其实本题如果明白本题中的立体是一个圆锥体，则由体积公式显然，且由对称性，明显，．20．（本题满分11分）设向量组为空间的一组基，在这组基下的坐标为．（1

8、）求之值；（2）证明：也为空间的一组基，并求到的过渡矩阵．【详解】（1）由可得，解方程组，得且当时，，即线性无关，确实是空间的一组基．（2），显然线性无关，当然也为空间的一组基．设，则从到的过渡矩阵为21．（本题满分11分）已知矩阵与相似．（1）求之值；（2）求可逆矩阵，使得．【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知：，即，解得．（2）解方程组得矩阵的三个特征值；分别求解线