第11章 线性系统的多项式矩阵描述分解课件.ppt

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1、第11章线性时不变系统的多项式矩阵描述状态空间描述给出了控制输入与系统内部状态及输出的清晰关系，然而状态变量的选定是任意的，不一定具有直接的物理含义；组成系统的各子系统的性质也不能得到明显的反应。而传递函数具有直观的物理含义，但它忽略了系统内部的重要结构信息。罗森布罗克（H.H.Rosenbrock)提出一种新的恰当的描述---多项式矩阵描述（poynomialmatrixdescription)PMD。11.1多项式矩阵描述一.多项式矩阵PMD的形式上式为描述系统的广义状态方程和输出方程，且系数矩阵为多项式矩阵形式，称为多项式矩阵描述PMD。一般多输入/多输出线性时不变系统

2、，定义degdetP(s)=m=系统中具有储能元件个数。强调：广义状态变量必须是独立的。对于方程中的某个储能参数若多次引用，必须给予恰当处理。例如若将电容C2两端短路，则degdetP(s)=4，产生系统升级错误的原因是化简过程中电容C1进行了两次通分运算。对PMD的说明：（1）PMD的属性多项式矩阵描述也是系统的一种内部描述，而且比状态空间描述更为一般，引入广义状态（状态，伪状态），对其并不要求按状态进行严格限定。（2）系数矩阵的多项式矩阵属性（3）对PMD的假设为保证PMD系统有唯一解，假定多项式矩阵P(s)为非奇异。（4）时间域PMD对频率域PMD的系数矩阵中，若用微分

3、算子代替系数多项式中的复变量s，并将频率域变量替换为时间域变量，得到时间域PMD为PMD和其它描述的关系（1）多项式矩阵描述的传递函数矩阵（2）状态空间描述的多项式矩阵描述（3）矩阵分式描述的多项式矩阵描述（4）多项式矩阵描述的一般性PMD是线性时不变系统的最一般描述，其它形式描述均可认为是PMD的特殊形式。三.不可简约PMD定义：称(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约PMD，当且仅当{P(s),Q(s)}左互质，{P(s),R(s)}右互质(P(s),Q(s),R(s),W(s))为可简约PMD，则只可能为下列三种情形之一：{P(s),Q(s)}非左互质，{

4、P(s),R(s)}右互质{P(s),Q(s)}左互质，{P(s),R(s)}非右互质{P(s),Q(s)}非左互质，{P(s),R(s)}非右互质对可简约PMD化为不可简约PMD的基本途径是引入变换，将非互质化为互质。（1）{P(s),R(s)}右互质，{P(s),Q(s)}非左互质结论11.5对{P(s),R(s)}右互质，{P(s),Q(s)}非左互质可简约PMD，非左互质{P(s),Q(s)}的任一最大公因子H(s)为m×m维，取（2）不可简约PMD不唯一性结论11.8设(P(s),Q(s),R(s),W(s))为系统的一个不可简约PMD，则任意两个单模阵U(s),V

5、(s)对P(s),Q(s),R(s),W(s)单模变换11.2多项式矩阵PMD的状态空间实现传递函数矩阵的最小实现是通过既约矩阵分式MFD来进行，它给出了规范形矩阵分式与规范形动态方程(A,B,C,E)之间的变换关系。而矩阵分式描述MFD是一种特殊的多项式矩阵描述PMD，为此，考虑多项式矩阵PMD到状态空间描述，即PMD的实现。一.PMD的实现多项式矩阵描述PMD则称状态空间描述注意PMD的实现具有强不唯一性，结果不唯一，实现的维数也不唯一。二.构造PMD的实现方法构造PMD的实现是基于矩阵分式描述MFD的规范形，能控形，能观测类实现而建立的。含义是指PMD的传递函数矩阵G(

6、s)中包含的一个MFD的实现，称为PMD实现的内核。PMD构成的状态空间描述为更一般的形式。因为利用多项式矩阵理论研究系统时，不需要将系统限制为真有理的。注意：E(s)为常数阵或零阵，并不意味W(s)为常数阵或零阵；反之亦然。这就是说，判别多项式矩阵描述PMD是否为真（严真）有理，只能从其动态方程中E(s)是否为常数阵或零阵来判断，决不能从W(s)是否为常数阵或零阵来判断。三.PMD的最小实现PMD中维数最小的一类实现称为最小实现。结论11.10[最小实现的时间域条件]设[A,B,C,E(p)]为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}的一个实现，则有（A,B,C,E(p)

7、)为最小实现（A，B）完全能控，（A，C）完全能观测结论11.11[最小实现的复频域条件]设[A,B,C,E(p)]为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}的一个维数为n=degdetP(s)的实现，则有（A,B,C,E(p))为最小实现{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约结论11.12[最小实现不唯一性]设[A,B,C,E(p)]为{P(s),Q(s),R(s),W(s)}的一个实现，T为与A同维的任一非奇异常数阵，则也为一个最小实现结论11.14[最小实现间的代数等价性]对PMD(