导数的概念教案.pdf

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【教学课题】：§2.1导数的概念（第一课时）【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。【教学重点】：在一点处导数的定义。【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程】：一）导数的思想的历史回顾导数的概念和其它

2、的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。二）两个来自物理学与几何学的问题的解决问题1（以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程12为：s(t)gt，t[0,T]，求：落体在t0时刻（t0[0,T]）的瞬时速度。2t0t问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,

3、t0]）上的平均速度为s(t)s(t0)vtt0若tt0时平均速度的极限存在，则极限s(t)s(t0)vlimtt0tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。问题2（以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯限位置

4、MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为yy0f(x)f(x0)tan（为割线MN的倾角）xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限f(x)f(x0)ktanlim（为割线MT的倾角）xx0xx0为点M处的切线的斜率。上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问题的解决都归结到求形如f(x)f(x0）lim（1）xx0xx0的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管

5、其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。三）导数的定义定义设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限f(x)f(x0）limxx0xx0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。即f(x)f(x0）f'(x0)lim（2）xx0xx0dydf(x)也可记作y，，。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。xxodxxxodxxxof在x0处可导的等价定义：设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价

6、于x0，如果函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯f(x)f(x0）yf'(x0)limf'(x0)lim（3）xxx00xx0xf(x0x)f(x0）f'(x0)lim（4）x0xf(x0)f(x0）f'(x0)lim（5）0四）利用导数定义求导数的几个例子2例1求f(x)x在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。解由定义2'yf(1x)f(1)(1x)1f(1)limlimlimx0x0

7、x0xxx22xxlimlim(2x)2x0xx0于是曲线在(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1。例2设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。证f(x)f(x)f(x)f(x)'f(0x)f(0)f(x)f(0)又f(0)limlimx0xx0xf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limlimf(0)x0xx0xf(0)0f(x)f(x）00注意：f'(x0)lim这种形式的灵活应用。此题的为x。01xsin,x0例3讨论函数f(x)x在x0处的连续性，可导性。0

8、,x01解首先讨论f(x)在x0处的连续性：limf(x)limxsin0f(0)x0x0x即f(x)在x0处连续。再讨论f(x)在x0处的可导性：3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1xsin0f(0x)f(0)x1limlimlimsin此极限不存在x0xx0xx0x即f(x)在x0处不可导。问怎样将此题的