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1、§1多维随机变量及其联合分布§2边际分布与随机变量的独立性§3多维随机变量函数的分布§4多维随机变量的特征数§5条件分布与条件数学期望第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布§1多维随机变量及其联合分布§1.1多维随机变量§1.2联合分布函数§1.3二维离散型随机变量及联合分布律§1.4二维连续型随机变量§1.5常用的多维随机变量§1.1多维随机变量§1多维随机变量及其联合分布图示实例炮弹的弹着点的位置(X,Y)就是一个二维随机变量.二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y有关,而且还依赖于这
2、两个随机变量的相互关系.实例考查某一地区学前儿童的发育情况,则儿童的身高H和体重W就构成二维随机变量(H,W).说明§1.2多联合分布函数二维随机变量联合分布函数的性质性质1F(x,y)分别关于x和y单调不减..性质3F(x,y)分别关于x和y右连续.证明对任意的因为所以即同理可证,对任意的有性质1F(x,y)分别关于x和y单调不减.证明证明性质3F(x,y)分别关于x和y右连续.证明证明ⅠⅡⅢⅣ§1.3二维离散型随机变量及联合分布律二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为解(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),
3、(1,0),(1,1),则(X,Y)的联合分布律为解且由乘法公式得例(X,Y)所取的可能值是解抽取两支都是绿笔抽取一支绿笔,一支红笔例从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠笔的盒子里,随机抽取两支,若X、Y分别表示抽出的蓝笔数和红笔数,求(X,Y)的分布律.故所求分布律为例一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.(X,Y)的可能取值为解故(X,Y)的分布律为下
4、面求分布函数.所以(X,Y)的分布函数为说明离散型随机变量(X,Y)的分布函数归纳为二维离散型随机变量联合分布律的性质性质1证因为,所以性质2证§1.4二维连续型随机变量表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.说明解(1)由得所以k=6(2)解由则当x>1,y>1时,所以(X,Y)的联合分布函数例解(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标,即有§1.5常用的多维随机变量§1.5.1多项式分布§1.5.2多维超几何分布§1.5.3多维均匀分布例已知随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,试求(X,Y
5、)的分布密度及分布函数,其中D为x轴,y轴及直线y=x+1所围成的三角形区域.解所以(X,Y)的分布函数为§1.5.4二维正态分布若二维随机变量(X,Y)具有概率密度二维正态分布的图形§2边际分布与随机变量的独立性§2.1边际分布函数§2.2边际分布律§2.3边际密度函数§2.4随机变量的独立性§2边际分布与随机变量的独立性§2.1边际分布函数解(X,Y)关于X的边缘分布函数解(X,Y)关于Y的边缘分布函数§2.2边际分布律例:把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷中正面出现的次数,而Y为正面出现次数与反面出现次数
6、之差的绝对值,求(X,Y)的概率函数.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?从表中不难求得:P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1
7、)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意这两个分布正好是表的行和与列和.这里称X,Y各自的概率函数分别为(X,Y)关于X和Y的边际概率函数.我们常将边际概率函数写在联合概率函数表格的边缘上,由此得出边际分布这个名词.如表所示联合分布与边际分布的关系由联合分布可以确定边际分布;但由边际分布一般不能确定联合分布.(1)(X,Y)关于X的边际(缘)分布律(2)(X,Y)关于Y的边际(缘)分布律因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布
8、函数分别为例已知下列分布律求其边缘分布律.注意联合分布边缘分布解解样本点§2.3边际密度函数边际(缘)密度函数完全由联合密度函数所决定.Y的边缘分布函数Y的边缘概率密度.设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)则从而得到X和Y的概率密度函数分别为解例例解由于于是则有即同理可得二维正态分布的两个边缘分