固体物理习题5.ppt

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1、第五章能带理论5.1一维周期场，电子的波函数，电子的波函数为应当满足布洛赫定理。若晶格常数为（1）（2）（3）（为某一确定的函数）试求电子在这些状态的波矢。解：由式可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足由此得（1）于是因此得所以（2）即得所以（3）令得由上知可知所以5.2电子在周期场中得势能且是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。解：Oa2a3axV(x)如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得5.3用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度。解：在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示式为其中是周期势场V(x)付里叶级数的系数

2、，求得。第一禁带宽度为该系数可由式第二禁带宽度为5.4用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带并求能带宽度。解：用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点的相互作用时，对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0），则8个最近邻格点的坐标为其能带的表示式为将上述8组坐标代入能带的表示式，得由余弦函数的性质，用观察法即可断定，当时，能带中的能量取最小值当时，能量取最大值因而能带的宽度为5.5由N格原子组成的三维晶体（简单晶格),其孤立原子中的为正的常数。（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数；（2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数（3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电

3、子的波函数及电子基态波函数为的性质；能量的特征。解：（1）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为一维晶体情况下，晶格常数，所以又得（2）按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为对于一维晶体情况下，晶格常数，，此处若只取一项，则5.6一矩形晶格，原胞边长，（1）画出倒格子图；（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区；（3）画出自由电子的费密面。(设每个原胞有两个电子。）解：倒格子基矢为(1)因为以如图6-11所示,图中“。”代表倒格点。由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。为基矢构成的倒格子第一区第二区（2）其结果如图所示。、次近邻的连线的中垂线可围成第一、第二布里渊区

4、(如上图)，这是布里渊区的广延图。取任意倒格点o作为原点，由原点至其最近邻如采用简约形式，将第二区移入第一区，（3）简约布里渊区的面积便有2N个状态。而状态密度当每个原胞有两个电子时，晶体电子的总数为设晶体共有N个原胞，计入自旋后，在简约布里渊区中所以这就是费米圆的半径，据此做出费米圆如图所示。5.7有一平面正六角形晶格，六角形两个平行对边的间距为（见图），试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。若每个原胞有2个电子试画出其费米圆周。解：如图所示，平面六角晶格取六角形的中心为坐标原点，原胞也如图中画出。每个原胞中包含有两个原子。是一个复式格子。基矢可由下式给出，可得到倒格基矢在二维晶格下，取

5、其中由给出。所以根据倒格基矢就可以画出个倒格点，从而画出布里渊区如图。当每个原子有2个电子时，则二维晶格的价电子面密度为可算出费米圆的半径由此可以画出自由电子的费米圆，如图中的所示。考虑周期势场的微扰，对自由电子的费米圆作两点修正：（1）在布里渊区的边界线处发生分裂。（2）费米圆与布里渊区边界线间的交角进行钝化。5.8平面正三角形晶格（见图），相邻原子间距为a。试求（1）正格矢和倒格矢；（2）画出第一布里渊区，并求此区域的内接圆的半径。解：（1）正格原胞的基矢如图所示取为其中和是相互垂直的单位矢量。取单位矢量垂直于和，则和构成的体积倒格原胞的基矢为（2）选定一倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢

6、有6个，它们是这6个倒格矢的中垂线围成的区间构成了两部分，以原点为对称心的正六边形是第一布里渊区。第一布里渊区内切圆的半径为5.9证明：体心立方晶格第一布里渊区的界面对应于晶面的布拉格反射。证明：对于一级反射，n=1,则有(1)式中，d为反射晶面族的面间距，为布拉格角。在第一布里渊区边界面上，必有根据布拉格衍射公式此处为被界面垂直平分的倒格矢，(2)令(1)(2)两式右边相等，便得(3)式中a为立方晶系的晶格常数，h,k,l为晶面指数。对于体心立方结构，其倒格子原胞是边长为2/a的面心立方格子，布里渊区则是从坐标原点到最近邻的12个面心的倒格矢的中垂面围成的十二面体，这些倒格矢的长度由此得正

7、好等于面对角线长度的一半，即于是从(3)式给出(4)根据衍射理论，对于体心立方格子，只有晶面指数之和为偶数的晶面族才能产生1级反射，因此从(3)(4)两式容易看出，与布里渊区边界面相对应的反射晶面族的面指数为.解：(1)式中和分别为参考原子及其最近邻的位矢。在面心立方格子中，有12个最近邻。=0,12个最近邻的坐标分别是5.10用紧束缚方法处理面心立方晶格的s态电子，若只计最近邻的相互作用，试导出其能带表达式