存在性问题-中考数学综合专题训练试题.doc

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1、第四节 存在性问题这类问题是近几年来各地中考的“热点”.解决存在性问题就是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果,就作出“存在”的判断,导出矛盾,就作出不存在的判断.尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点.这类题型对基础知识,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对知识、能力的一次全面的考查.,中考重难点突破)【例1】(汇川中考模拟)抛物线y=x2-x+2与x轴交于A,B两点(OA

2、2个单位长度的速度向点B运动,同时点E也从点O出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点P的运动时间为ts(0

3、2的对称轴为直线x=3,设F(3,m),当△EFP为直角三角形时,①当∠EPF=90°时,②当∠EFP=90°时,③当∠PEF=90°时,根据勾股定律列方程即可求得结果.【答案】解:(1)在抛物线的解析式中,令y=0,得x2-x+2=0,解得x1=2,x2=4.∵OA

4、,即t=1时,+有最小值1,此时OP=2,OE=1,∴E(0,1),P(2,0);②存在.F的坐标为(3,2)或(3,7).【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设,然后由肯定的假设出发,结合已知条件建立方程,解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否”.解题的方法主要是建立方程模型,由方程有无符合条件的解来肯定“存在与否”的问题.◆模拟题区1.(汇川升学二模)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A在点B的左侧.(1)如图①,当k=1时,写出A,B两点的坐标;(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在

5、直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;(3)如图②,抛物线y=x2+(k-1)x-k(k>0)与x轴交于点C,D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明理由. 解:(1)当k=1时,抛物线的解析式为y=x2-1,直线的解析式为y=x+1.联立两个解析式,得x2-1=x+1,解得x=-1或x=2,当x=-1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3,∴A(-1,0),B(2,3);(2)设P(x,x2-1).如图①所示,过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x

6、+1).∴PF=(x+1)-(x2-1)=-x2+x+2.S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF(xF-xA)+PF(xB-xF)=PF(xB-xA)=PF,∴S△ABP=(-x2+x+2)=-+,当x=时,yP=x2-1=-.∴△ABP面积最大值为,此时点P坐标为;(3)存在,理由如下:设直线AB:y=kx+1与x轴,y轴分别交于点E,F,则E,F(0,1),OE=,OF=1.在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF==.令y=x2+(k-1)x-k=0,即(x+k)(x-1)=0,解得x=-k或x=1,∴C(-k,0),OC=k.设以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,根据圆周

7、角定理,此时∠OQC=90°.设点N为OC中点,连接NQ,如图②所示,则NQ⊥EF,NQ=CN=ON=,∴EN=OE-ON=-.∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90°,∴△EQN∽△EOF,∴=,即=,∴k=±.∵k>0,∴k=,∴当k=时,存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°.◆中考真题区2.(黔东南中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AP的中点,将线段MP绕点P

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