2021版高考数学一轮复习第十章平面解析几何10.6双曲线练习理北师大版.doc

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1、10.6双曲线核心考点·精准研析考点一　双曲线的定义及标准方程 1.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是(　　)A.椭圆　B.双曲线C.抛物线D.圆2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A.x2-=1　B.-y2=1C.x2-=1(x≤-1)　D.x2-=1(x≥1)3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2

2、,以

3、F1F2

4、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为(　　)A.-=1B.-=1C.-=1D.-=14.(2020·唐山模拟)P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________. 5.若双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点(4,),则双曲线的方程为________.【解析】1.选B.如图,连接ON,由题意可得

5、ON

6、=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以

7、MF2

8、=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线

9、与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得

10、PM

11、=

12、PF1

13、,所以

14、

15、PF2

16、-

17、PF1

18、

19、=

20、

21、PF2

22、-

23、PM

24、

25、=

26、MF2

27、=2<

28、F1F2

29、,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.-13-2.选C.设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得

30、MC1

31、=1+r,

32、MC2

33、=3+r,

34、MC2

35、-

36、MC1

37、=2<6,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,则b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).3.选C.因为以

38、F

39、1F2

40、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为-=1.4.(利用定义解三角形)如图所示,内切圆圆心M到各边的距离分别为

41、MA

42、,

43、MB

44、,

45、MC

46、,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有

47、CF1

48、=

49、AF1

50、,

51、AF2

52、=

53、BF2

54、,

55、PC

56、=

57、PB

58、,所以

59、PF1

60、-

61、PF2

62、=

63、CF1

64、-

65、BF2

66、=

67、AF1

68、-

69、AF2

70、=2a,又

71、AF1

72、+

73、AF2

74、=2c,所以

75、AF1

76、=a+c,

77、OA

78、=

79、AF1

80、-

81、OF1

82、=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所

83、以M的横坐标为a.答案:a5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,所以双曲线的标准方程为-y2=1.方法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而<2,-13-所以点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由已知条件可得解得所以双曲线的标准方程为-y2=1.答案:-y2=11.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲

84、线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合

85、

86、PF1

87、-

88、PF2

89、

90、=2a,运用平方的方法,建立

91、PF1

92、与

93、PF2

94、的关系.2.求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:①c2=a2+b2;②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法①一般步骤-13-②常用设法(ⅰ)与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ(

95、λ≠0);(ⅱ)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0);(ⅲ)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为+=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).【秒杀绝招】求双曲线的标准方程时,若已知渐近线方程为y=±x,但不知道焦点所在坐标轴,可直接设-=λ(λ≠0).例如第5题.考点二　直线与双曲线的位置关系 【典例】1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线与圆(x-a)2+y2=a2的位置关系是(　　)A.相交B.相切C.相离D.不确定2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C

96、1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程.(2)若直线