2015届高三数学—不等式1:基本不等式经典例题+高考真题剖析(解析版).doc

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1、必修五:基本不等式应用一:求最值例:求下列函数的值域(1)y=3x 2+ (2)y=x+解:(1)y=3x 2+≥2= ∴值域为[,+∞)(2)当x>0时,y=x+≥2=2;当x<0时, y=x+= -(- x-)≤-2=-2∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)l 解题技巧技巧一:凑项例 已知,求函数的最大值。 解:因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项,,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。技巧二:凑系数例: 当时,求的最大值。解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当,即x=2时取等号 当x=2时,的最大值为8。变式:设,求函数的最大值。解:∵∴∴当且仅当即时等号成立。技巧三: 分离、换元例:求的值域。解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有。

2、(x+1)的项,再将其分离。当,即时,(当且仅当x=1时取“=”号)。解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。当,即t=时,(当t=2即x=1时取“=”号)。技巧四:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数的单调性。例:求函数的值域。解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。技巧五:整体代换多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。例:已知,且,求的最小值错解:,且, 故 。错因:解法中两次连用均值不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得。

3、时, 。技巧六例:已知x,y为正实数,且x 2+=1,求x的最大值.分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。同时还应化简中y2前面的系数为 , x=x =x·下面将x,分别看成两个因式:x·≤== 即x=·x ≤ 技巧七:已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。法一:a=, ab=·b=由a>0得,0<b<15令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2=8∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。法二:由已知得:30-a。

4、b=a+2b∵ a+2b≥2  ∴ 30-ab≥2令u= 则u2+2u-30≤0, -5≤u≤3∴≤3,ab≤18,∴y≥点评:①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.技巧八、取平方例: 求函数的最大值。解析:注意到与的和为定值。又,所以当且仅当=,即时取等号。 故。应用二:利用均值不等式证明不等式例:已知a、b、c,且。求证:分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又,可由此变形入手。解:a、b、c,。。同理,。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得。当且仅当时取等号。应用三:均值不等式与恒成立问题例:已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。解:令, 。 ,应用四:均值定理在比较大小中的应用:例:若,则的大小关系是 。

5、.分析:∵ ∴( ∴R>Q>P。【高考真题训练】1.(2010·山东)已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为__3___.2.(2011·陕西)设0<a<b,则下列不等式中正确的是 (B) A.a<b<< B.a<<<bC.a<<b< D.<a<0,v>0,所以当l=6.05时,F==≤=1900,当且仅当v=11时,取等号.(2)当l=5时,F==≤2000,当且仅当v=10时,取等号,此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.7.[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(  )A.80元 B.120元 C.160元 D.240元C [解析] 设底面矩形的一边。

6、长为x.由容器的容积为4 m3,高为1 m.得另一边长为 m.记容器的总造价为y元,则y=4×20+2×1×10=80+20≥80+20×2=160,当且仅当x=,即x=2时等号成立.因此,当x=2时,y取得最小值160,即容器的最低总造价为160元,故选C.8.[2014·辽宁卷] 对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为________.-1 [解析] 因为4a2-2ab+b2-c=0,所以(2a+b)2-c=6ab=3×2ab≤3×,所以(2a+b)2≤4c,当且仅当b=2a,c=4a2时,|2a+b|取得最大值.故++=+=-1,其最小值为-1.9.[2014·浙江卷] 已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是________. [解析] 方法一:令b=x,c=y,则x+y=-a,x2+y2=1-a2,此时直线x+y=-a与圆x2+y2=1-a2有交点,则圆心到直线的距离d=≤,解得a2≤,所以a的最大值为.方法二:将c=-(a+b)代入a2+b2+c2=1得2b2+2ab+2a2-1=0,此关于b的方程有实数解,则Δ=(2a)2-8(2a2-1)≥0,整理得到a2≤,所以a的最大值为.10.[2014·江苏卷] 若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是______. [解析] 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则由正弦定理得a+b=2c.故cos C====-≥-=,当且仅当3a2=2b2,即=时等号成立.。

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