高中数学校本教材专题七——函数的性质(单调性、奇偶性、周期性).doc

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1、专题七函数的性质（一）函数的单调性一．知识方法函数单调性的定义：①如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；②设函数在某区间内可导，若，则为的增函数；单调性的定义①的等价形式：设，那么在增；在减。复合函数单调性的判断．“同增异减”函数单调性的应用.（1）若在区间上递增且()；主要用于：①比较函数值的大小②可用来解不等式.③求函数的值域或最值等。（2）若在区间上递增5．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是定义域的子集；6．判断函数的单调性的方法有：用定义；用已知函数的单调性；利用函数的导数；如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数

2、图象法；复合函数的单调性结论：“同增异减”奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。函数在上单调递增；在上是单调递减。二．题型演练：题型一：证明函数的单调性：证明函数单调性的步骤：第一步：设x、x∈给定区间，且x

3、，则，∵，∴，，∴，即，∴函数是增函数．说明：本题中的函数可视作函数和的和，这两个函数在内都是增函数，也是增函数．由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。题型二：求单调区间例3．1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性．解：（1）单调增区间为：单调减区间为，（2），，令，得或，令，或∴单调增区间为；单调减区间为．题型三：已知函数单调性，求参数范围：例4．(1)若函数在上是增函数，在上是减函数，则实数的值为；（2）若函数在上是增函数，则实数的取值范围为；（3）若函数的单调递增区间为，则实数的值为．解：（１）由二次函数的图像我们可

4、以知道该二次函数的对称轴是即即；（２）由题意可以知道即；（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是即即；例5．已知函数的定义域为，且对任意的正数，都有，求满足的的取值范围．解:∵时，，∴函数是减函数，∴由得：，解得，∴的取值范围是．[评注]:注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。若本例题中的定义域改为的的范围又怎样了呢？题型四：单调性的应用例6.设为奇函数，且在定义域上为减函数，求满足的实数a的取值范围。解：由为奇函数知：由是减函数知：∴解得例7.设是定义在上的增函数，且，求满足不等式的的取值范围。解：又∴化为∴解得例8．　

5、已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式．解：（1）令，得，∴，令，得，∴，∴是偶函数．（2）设，则∵，∴，∴，即，∴∴在上是增函数．（3），∴，∵是偶函数∴不等式可化为，又∵函数在上是增函数，∴，解得：，即不等式的解集为（二）函数的奇偶性一．知识方法1．函数的奇偶性定义偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．2、函数奇偶性的几个性

6、质：（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；（3）是偶函数是奇函数；（4）,；（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3.函数奇偶性的判定方法(1)根据定义判定，首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1(2)利用定理，借助函数的图象判定

7、(3)性质法判定设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．二．题型演练题型一、判断有解析式的函数的奇偶性例1．判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=

8、x+1

9、－

10、x－1

11、；（2）f（x）=（x－1）·；（3）；（4）[分析]判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。解：（1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f（－x）=

12、－x+1

13、－

14、－x－1

15、=

16、x－1

17、－

18、x+1

19、=－（

20、x+1

21、－

22、x－1