三)恒成立题教案.doc

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1、授课教案学员姓名：_____________授课教师：_所授科目：　　　　　　学员年级：__________上课时间：____年__月__日____时___分至____时___分共___小时教学标题教学目标熟练掌握：教学重难点重点掌握：考点内容：上次作业检查正确数：正确率：问题描述：授课内容：一复习上次课内容：1动态函数单调性与最值问题中分类讨论思想与分类标准二梳理知识（新课内容）一恒成立问题1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路

2、是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)∀x∈D，f(x)>C；(2)∀x∈D，f(x)>g(x)；(3)∀x1，x2∈D，

3、f(x1)－f(x2)

4、≤C；(4)∀x1，x2∈D，

5、f(x1)－f(x2)

6、≤a

7、x1－x2

8、.3．不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值①若不等式Af(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D

9、上B>f(x)max⇔f(x)的上界小于B.(2)分离参数法①将参数与变量分离，即化为g(λ)≥f(x)(或g(λ)≤f(x))恒成立的形式；②求f(x)在x∈D上的最大(或最小)值；③解不等式g(λ)≥f(x)max(或g(λ)≤f(x)min)，得λ的取值范围．(3)转换成函数图象问题①若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y＝f(x)和图象在函数y＝g(x)图象上方；②若不等式f(x)

10、f(x)>g(x)的研究对于形如∀x∈D，f(x)>g(x)的问题，需要先设函数y＝f(x)－g(x)，再转化为∀x∈D，ymin>0.例1已知函数f(x)＝x

11、x－a

12、＋2x.(1)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(2)求所有的实数a，使得对任意x∈[1,2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x＋1图象的下方．解：(1)f(x)＝x

13、x－a

14、＋2x＝由f(x)在R上是增函数，则即－2≤a≤2，故a的取值范围为－2≤a≤2.(2)由题意得对任意的实数x∈[1,2]，f(x)

15、x－a

16、<1在[1

17、,2]恒成立，也即x－0，从而x－为增函数，由此得max＝；当x∈[1,2]时，′＝1－>0，从而x＋为增函数，由此得min＝2，所以c的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值．探究点二∀x1，x2∈D，

18、f(x1)－f(x2)

19、≤C的

20、研究对于形如∀x1，x2∈D，

21、f(x1)－f(x2)

22、≤C的问题，因为

23、f(x1)－f(x2)

24、≤f(x)max－f(x)min，所以原命题等价为f(x)max－f(x)min≤C.例2已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x(a，b∈R)，在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有

25、f(x1)－f(x2)

26、≤c，求实数c的最小值．【解答】(1)∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3，根据题意，得即解得∴f(x)＝x3－3x.(2)令f′(x)＝3

27、x2－3＝0，即3x2－3＝0，解得x＝±1，x－2(－2，－1)－1(－1,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－2↗极大值↘极小值↗2∵f(－1)＝2，f(1)＝－2,f(-2)=-2,f(2)=2,∴当x∈[－2,2]时，f(x)max＝2，f(x)min＝－2.则对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有

28、f(x1)－f(x2)

29、≤f(x)max－f(x)min＝4，所以c≥4，即c的最小值为4.【点评】在处理这类问题时，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f(x)在区间D上的函数差的最

30、大值小于c，如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题．探究点三∀x1，x2∈D，

31、f(x1)－f(x2)

32、≤a

33、x1－x2

34、的研究形如∀x1，