三角恒等式三角不等式.doc

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时间:2020-05-17

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1、三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。定义2角度制:把一周角360等分,每一等分为一度。弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值

2、α

3、=,其中r是圆的半径。定义3三角函数:在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点

4、的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=,余切函数cotα=,正割函数secα=,余割函数cscα=定理1同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα=,sinα=,cosα=;商数关系:tanα=;乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;平方关系:sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.定理2诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα

5、;(Ⅱ)sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;(Ⅲ)sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;(Ⅳ)sin=cosα,cos=sinα,tan=cotα(奇变偶不变,符号看象限)。定理3正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间上为增函数,在区间上为减函数,最小正周期:2.奇偶性:奇函数有界性:当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=

6、3k-时,y取最小值-1,值域为[-1,1]。对称性:直线x=k+均为其对称轴,点(k,0)均为其对称中心。这里k∈Z.定理4余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期:2π。奇偶性:偶函数。有界性:当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。值域为[-1,1]。对称性:直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。这里k∈Z.定理5正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(x

7、kπ+)在开区间(kπ-,kπ+)上为增函数,最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+,0)均为其对称中心。定理6两角和与差的基本关系式:cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=两角和与差的变式:三角和的正切公式:定理7和差化积与积化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin(α+β)+si

8、n(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8二倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=三倍角公式及变式:,,定理9半角公式:sin=,cos=,tan==定理10万能公式:,,定理11辅助角公式:如果a,b是实数且a2+b20,则取始边在x轴正半轴,终边经过点(a,b)的一个角为β,则si

9、nβ=,cosβ=,对任意的角α.asinα+bcosα=sin(α+β).定理12正弦定理:在任意△ABC中有,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边,R为△ABC外接圆半径。定理13余弦定理:在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边。定理14射影定理:在任意△ABC中有,,定理15欧拉定理:在任意△ABC中,,其中O,I分别为△ABC的外心和内心。定理16面积公式:在任意△ABC中,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长则定理17与△ABC三个内角有关的公式:(1)(2)(

10、3)(4)(5)(6)定理18图象之间的关系:y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象;经左右平移得y=sin(x+)的图象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin()的图象(周期变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍,得到y=Asinx的图象(振幅变换);

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