全国初中数竞赛预选赛试题及参考答案(湖北).doc

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1、2015年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北)(时间:120分钟 满分:120分)一.选择题(每小题6分,共36分)1. 如图,将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针旋转90º后得到Rt△DEC,连接AD,若∠B=65º,则∠ADE=( ). A. 30º B. 25º C. 20º D. 15º2.有甲、乙、丙三个不透明布袋,里面都装有数量相同的玻璃球,这些球只有颜色不同.已知甲布袋中黑球占袋内总球数的,乙布袋中没有黑球,丙布袋中黑球占袋内总球数的.现将乙、丙布袋内的球全部倒入甲布袋中,再从甲布袋中任取一个球,则取出黑球的概率是( ). A. B. C. D. 3.反比例函数的自变量x满足 ≤x≤2,函数值y满足 ≤y≤1,则k的值为( ).A. B. 或 2 C. 或 D. 2或 4.若是关于x的一元二次方程()的两根,则的值为(  ).A. B. 8 C. 2 D. 5.如图。

2、所示的四条直线a、b、c、d,直线a、b与水平线平行,以其中一条为x轴,取向右为正方向;直线c、d与水平线垂直,以其中一条为y轴,取向上为正方向.某同学在此坐标平面上画了二次函数的图象如图,则下面结论正确的是( ). A. a为x轴,c为y轴 B. a为x轴,d为y轴 C. b为x轴,c为y轴 D. b为x轴,d为y轴6. 如图,在⊙O中,AB为直径,点M为AB延长线上的一点,MC与⊙O相切于C,圆周上有另一个点D与点C分居直径AB的两侧,且使得MC=MD=AC.现有下列结论:(1)MD与⊙O相切; (2)四边形ACMD是菱形; (3)AB=MO; (4) ∠D=120º.其中正确的结论有(  )个.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1二.填空题(每小题6分,共36分)7. 若方程有一个根是a,方程有一个根是-a,则a=  .8. 如图所示为一个电路图,在该电路图上有四个开关A、B、C、。

3、D和一个灯泡,现在任意闭合其中两个开关,灯泡能够发光的概率为 .9. 如图为一个玉石饰品的示意图,与中心在同一平面上的A、B为外圆上的两点,且AB与内圆相切于C点,过C作CD⊥AB交外圆于D,且AB=24cm,CD=6cm,则外圆的直径是   cm.10. 已知二次函数的图象与x轴交于、,<,现有下列结论:①方程有两个不相等的实数根;②当x=-2时,y=1; ③当>时,y>0; ④.其中正确结论的序号是     .11.如图,在△ABC中,AB=30cm,AC=20cm,以BC为边作等边△BCD,连接AD,则AD的最大值与最小值的和是     .12.如图,△AOB中为等边三角形,点B的坐标为(-1,0),过C(1,0)作直线l交AO于D,交AB于E,E在反比例函数的图象上,且△ADE的面积和△DOC的面积相等,则k=     .三.解答题(每小题12分,共48分)13.关于x的一元二次方。

4、程.(1)求证:方程有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数k的值.14.如图是四张卡片A、B、C、D的正面图案,它们的背面都相同,现在将这四张卡片背面朝上洗匀,先摸出一张,记下正面的图案后放回,再次洗匀后又摸出一张.(1) 用树状图或列表法表示两次摸出的卡片的所有可能性;(2) 求摸出的两张卡片的正面图案都是中心对称图形的概率.15. 如图,在Rt△ABC中,∠A=30º,∠ABC=90º,延长BC到点O,使得OC=BC,以点O为圆心,以OC为半径作⊙O交AC的延长线于D,连接BD.(1)求证:BD与⊙O相切;(2)若AB=,求图中阴影部分的面积(结果保留π).16. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B,与y轴交于C,且OC=OB=2OA=2.(1)求此二次函数的解析式及顶点D的坐标;(2)过BD上一点E作EF⊥x轴于F,当E在线段BD上运动时(不与B、D点重合),设EF。

5、=t,四边形ACEF的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G,使得△ACG为直角三角形,若存在,求出点G的坐标;若不存在,说明理由.参考答案(原文在不影响题意时局部有编辑)题号123456789101112答案CCABDA0,81/230①②60-3/1613.(1) ≥0; (2) ,,14.(1) …, (2) ,(说明:本题官方解答是1/16); 15.(1)…,(2) 16.(1) ;(2) ;(3) 第11题 将绕B点顺时针旋转60º,得,连,在中,≤≤(取等号时是A、A‘、D三点共线),≤≤, 即 10=30-20≤PC≤30+20=50.12. 应用等积转换,也较基础,,,设,则,则,又,故E为AB的中点,,即可得k.15.解:(1)连接,∵,,∴,∵,∴为等边三角形,∴,∴,∴,∴,∵为半径,∴与相切.(2)∵,,,,∴,,∴,∴,∴,∴阴影部分的面积为.16.解:(1)由题意,,,设二次函数的解析式为,则,解得,∴,顶点为. (2)点、所在的直线方程为,∴,其中,∴,即,其中自变量的取值范围是.(3)存在点和使得为直角三角形.设点的坐标为,则,,,①若为斜边,则,即,解得(舍),或,此时点;②若为斜边,则,即,解得(舍),或,此时点;③若为斜边,则,即,解得(舍),或(舍),或无解,此时点不存在,综上,存在点和使得为直角三角形.。

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