全国初中数竞赛预选赛试题及参考答案（湖北）.doc

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1、2015年全国初中数学竞赛预选赛试题及参考答案(湖北)（时间：120分钟满分：120分）一．选择题（每小题6分，共36分）1．如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针旋转90º后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B＝65º，则∠ADE＝()．A.30ºB.25ºC.20ºD.15º2．有甲、乙、丙三个不透明布袋，里面都装有数量相同的玻璃球，这些球只有颜色不同．已知甲布袋中黑球占袋内总球数的，乙布袋中没有黑球，丙布袋中黑球占袋内总球数的．现将乙、丙布袋内的球全部倒入甲布袋中，再从甲布袋中任取一个球，则取出黑球的概率是（）．A.B.C.

2、D.3．反比例函数的自变量x满足≤x≤2，函数值y满足≤y≤1，则k的值为（）．A.B.或2C.或D.2或4．若是关于x的一元二次方程()的两根，则的值为（　　）．A.B.8C.2D.5．如图所示的四条直线a、b、c、d，直线a、b与水平线平行，以其中一条为x轴，取向右为正方向；直线c、d与水平线垂直，以其中一条为y轴，取向上为正方向．某同学在此坐标平面上画了二次函数的图象如图，则下面结论正确的是（）．A.a为x轴，c为y轴B.a为x轴，d为y轴C.b为x轴，c为y轴D.b为x轴，d为y轴6.如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延

3、长线上的一点，MC与⊙O相切于C，圆周上有另一个点D与点C分居直径AB的两侧，且使得MC＝MD＝AC．现有下列结论：(1)MD与⊙O相切;(2)四边形ACMD是菱形;(3)AB＝MO;(4)∠D＝120º．其中正确的结论有（　　）个．A.4B.3C.2D.1二．填空题（每小题6分，共36分）7.若方程有一个根是a,方程有一个根是－a,则a＝　　．8.如图所示为一个电路图，在该电路图上有四个开关A、B、C、D和一个灯泡，现在任意闭合其中两个开关，灯泡能够发光的概率为．9.如图为一个玉石饰品的示意图，与中心在同一平面上的A、B为外圆上的

4、两点，且AB与内圆相切于C点，过C作CD⊥AB交外圆于D，且AB＝24cm，CD＝6cm，则外圆的直径是　　　cm．10.已知二次函数的图象与x轴交于、，＜，现有下列结论：①方程有两个不相等的实数根；②当x＝-2时，y＝1;③当＞时，y＞0;④．其中正确结论的序号是　　　　　．11．如图，在△ABC中，AB＝30cm，AC＝20cm，以BC为边作等边△BCD，连接AD，则AD的最大值与最小值的和是　　　　　．12．如图，△AOB中为等边三角形，点B的坐标为（－1，0），过C（1，0）作直线l交AO于D，交AB于E，E在反比例函数的图

5、象上，且△ADE的面积和△DOC的面积相等，则k＝　　　　　．三．解答题（每小题12分，共48分）13．关于x的一元二次方程．(1)求证：方程有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值．14．如图是四张卡片A、B、C、D的正面图案，它们的背面都相同，现在将这四张卡片背面朝上洗匀，先摸出一张，记下正面的图案后放回，再次洗匀后又摸出一张．(1)用树状图或列表法表示两次摸出的卡片的所有可能性；(2)求摸出的两张卡片的正面图案都是中心对称图形的概率．15.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30º,∠ABC＝90º,延长BC到

6、点O，使得OC＝BC，以点O为圆心，以OC为半径作⊙O交AC的延长线于D，连接BD．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AB＝，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.16.已知二次函数的图象与x轴交于A、B，与y轴交于C，且OC＝OB＝2OA＝2．（1）求此二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）过BD上一点E作EF⊥x轴于F，当E在线段BD上运动时（不与B、D点重合），设EF＝t，四边形ACEF的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G，使得△ACG为直角三角形，若存在，求出点G

7、的坐标；若不存在，说明理由．参考答案（原文在不影响题意时局部有编辑）题号123456789101112答案CCABDA0,81/230①②60－3/1613.(1)≥0;(2),，14.(1)…,(2)，（说明：本题官方解答是1/16）;15.(1)…,(2)16.(1);(2);(3)第11题将绕B点顺时针旋转60º，得，连，在中，≤≤（取等号时是A、A‘、D三点共线），≤≤，　即10＝30－20≤PC≤30＋20＝50．12．应用等积转换，也较基础，，，设，则，则，又，故E为AB的中点，，即可得k．15．解：(1)连接，∵，，∴

8、，∵，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∵为半径，∴与相切．(2)∵，，，，∴，，∴，∴，∴，∴阴影部分的面积为．16．解：(1)由题意，，，设二次函数的解析式为，则，解得，∴，顶点为．(2)点、所在的直线方程为，∴，其中，∴，即，其中