线性空间与线性变换ppt课件.ppt

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1、第六章线性空间与线性变换6.1线性空间的定义与性质定义1设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任意两个元素∈V，总有唯一的一个元素∈V与之对应，称为的和，记作；对于任一个数k∈R与任一个元素∈V，总有唯一的一个元素∈V与之对应，称为k与的积，记为；两种运算满足以下八条运算规律（对任意∈V,∈R）：V就称为(实数域R上的)向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).(3)在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何∈V，都有；(4)  对任何∈V，都有V中的元素，使（称为的负元素）；凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合

2、称为向量空间（或线性空间）。向量不一定是有序数组；向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭；向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算。注意：例实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记为P[x]n，即P[x]n={anxn+…+a1x0+a0

3、an,an-1,…a1,a0∈R}对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量空间。例实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即W={anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

4、an,an-1,…a1,a0∈R，且an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R上的向量空间。因为0(anxn+…+a1x0+a0)

5、=0W，即W对数乘不封闭。例n个有序实数组成的数组的全体Sn={x=(x1,x2,…xn)

6、x1,x2,…xn∈R}对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k•(x1,x2,…xn)=(0,0,…0)不构成R上的向量空间，因为1x=0，不满足运算规律（5）性质１零元素是唯一的。假设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何∈V，有＋01＝，＋02＝，于是特别有02＋01＝02，01＋02＝01故　　01＝01＋02＝02＋01＝02性质２任一元素的负元素是唯一的。（的负元素记作）假设有两个负元素与，即。于是性质３因为所以又因为所以而定义2R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V的两

7、种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间（简称子空间）。定理1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭。性质4如果,那么或者。假设，那么6.2维数、基与坐标如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。定义3在线性空间V中，如果存在n个元素满足：(2)V中任一元素都可由线性表示，那么，就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数。(1)线性无关。这样，Vn的元素与有序数组(x1,x2,…xn)之间存在着一种一一对应。若知为V的一个基，则对任何，都有一组有序数x1,x2,…xn

8、使：并且这组数是唯一的(否则线性相关)。反之，任给一组有序数x1,x2,…xn，可唯一确定Vn中元素：定义4设是线性空间Vn的一个基，对于任一元素，有且仅有一组有序数x1,x2,…xn使x1,x2,…xn这组有序数就称为在基下的坐标，记作(x1,x2,…xn)。例在线性空间P[x]3中，就是P[x]3的一个基，P[x]3的维数是4，P[x]3中的任一多项式可写成因此f(x)在基下的坐标为在线性空间Vn中取定一个基，则Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,…xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设,；则(1)；(2)。可以说Vn与Rn有相同的结

9、构，称为Vn与Rn同构。一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构。同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，Vn中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，并且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但Rn中超出线性运算的性质，在Vn中就不一定具备，如内积。定理2R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。6.3基变换与坐标变换不同基与不同的坐标之间的关系设及是线性空间Vn的两个基，且上两式称为基变换公式.或表示为矩阵C称为到的过渡矩阵，C一定是可逆矩阵。定理3设Vn中的元素在基下的坐标为（）

10、，在基下的坐标为（），若两个基满足基变换公式的第二式，则有坐标变换公式6.4线性变换定义5设A、B是两非空集合，如果对于A中的任一元素，按照一定的法则，总有B中的一个确定的元素与之对应，那么这个法则称为从集合A到集合B的映射，如果A=B，A到A的映射称为A的变换。映射常用表示，A的变换常用T表示。A到B的映射使B中的与A中的对应，就记称为在映射下的像，称为在下的原像.的像的全体构成的集合称为的像集，记作(A