巧挖隐含条易证两个三角形全等.doc

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1、巧挖隐含条件易证两个三角形全等摘要：证明两个三角形全等的方法一般有：“SSS”,“ASA”,“AAS”,“SAS”和“HL（只针对直角三角形）”，这些证明方法都需要三个条件，但是很多证明三角形全等的题中，题目中只会给出0个，一个或者两个显性条件，那所需要的其他条件就隐含在题设或者图形中，这就需要我们去发现、挖掘。只要能挖掘出隐含条件，证明两个三角形全等自然就很简单，而不是难不可攀。关键词：隐含、三角形在平面几何题的证明中，如果给出的显性条件就能证明出所要证明的结论，这样的平面几何题自然易解，但是，有这样一种几何体。根据所给的

2、显性条件是明显证明不出要证明的结论的，遇到这种平面几何题解决起来就有一定的困难了，那遇到这样的平面几何题应该怎么办了？我认为应该充分挖掘题设和图形中的隐含条件，那证明两个三角形全等可能会遇见那些情况，可能会出现那些隐含条件了？我认为有以下几种类型一、隐含条件1----公共边公共边：两个三角形共同拥有的一条边。（1）两个三角形在公共边的同侧例：如右图，已知AC=BD,AD=BC求证:△ACD≌△BDCAODCB分析：在△ACD和△BDC中，已经有两条边对应相等，根据我们判定两个三角形全等的方法中，只有“SSS”和“SAS”两种

3、证明方法，这就说明我们需要找一条边或者一个角对应相等，仔细观察图形我们会发现CD即是△ACD的边，又是△BDC的边，这样的边我们称为公共边。即得第三个条件CD=CD。证明：在△ACD和△BDC中∵AC=BD（已知）AD=BC（已知）CD=CD（公共边）∴△ACD≌△BDC（SSS）AODCB变式1：将上题中的条件不变，而把求证改为△ACO≌△BDO变式2：将上体中的条件和结论都不变，而将图形改变，如右图，（2）两个三角形在公共边的异侧例：AB=AC,BD=CD,则∠B=∠C,请说明理由。分析：证明角相等，一般需要证明两个三角

4、形全等，通过题设条件可知。只知道两条边对应相等，这两个条件就说明了我们的推理，要证明两个三角形全等，必须要三个条件，所以缺少的那个必然在图形中，仔细观察可以发现。AD既是△ABD的边，也是△ACD的边。即得到第三个条件AD=AD证明：在△ABD和△ACD中∵AB=AC（已知）BD=CD（已知）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SSS）二、隐含条件2----公共角公共角:两个三角形共同拥有的一个内角例：如右图，已知AB=AC，AD=AE，则BD＝CE。请说明理由。分析：在△ABD和△ACE中，已经有两条边对应相等，根据

5、我们判定两个三角形全等的方法中，只有“SSS”和“SAS”两种证明方法，仔细观察图形，并没有公共边，故找不到边得关系，那就只有从角入手，仔细观察图形会发现∠A既是△ABD的一个内角，也是△ACE的一个内角，即可以得到第三个条件∠A=∠A解：在△ABD和△ACE中，∵AD=AE(已知)∠A=∠A（公共角）AB=AC（已知）∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE（全等三角形对应角相等）变式：如右上图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD＝CE。请说明理由。三、隐含条件3----对顶角对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延

6、长线，这样的两个角互为对顶角。例：如右图，已知∠A=∠B，AC=BD,求证：△ACO≌△BDO分析：在△ACO和△BDO中，有一边和一角对应相等，根据我们的判定方法，含有一边与一角的判定有“ASA”,“AAS”,“SAS”三种判定方法，那我们还需要找一边或则一角，这个条件题设无法找到，就说明隐含在我们的图形中，仔细观察图形，无公共边，但是有一组对顶角，更具对顶角相等可以得到∠AOC=∠BOD,故第三个条件就找到了。证明：在△ACO和△BDO中∵∠A=∠B（已知）AC=BD（已知）∠AOC=∠BOD（对顶角相等）∴△ACO≌△

7、BDO（AAS）变式1:如上图，已知AO=BO，CO=DO,求证：△ACO≌△BDO四、隐含条件4----公共线段公共线段：一般是两个三角形的一对对应边拥有的一条线段。遇到这样的图形，一般要进行线段的加或者减，才能解决问题。例：如图、点B、E、C、F在同一条直线上。且AB=DE，AC=DF，BE=CF。证明:△ABC≌△DEF分析：由题设可知，在△ABC和△DEF中只有两条边对应相等，BE和CF只是两个三角形边的一部分，故不能用来直接证明两个三角形全等，但是观察图形可知图形中既没有隐含公共边，也没有隐含公共角，那隐含了什么条

8、件？仔细观察会发现BE和CF都与EC相邻，而且BE+EC=BC,CF+EC=EF,而BC,EF恰好分别为△ABC和△DEF的边，故只需证明BC=EF就可以证明两个三角形全等。证明：∵BE=CF(已知)∴BE+EC=CF+EC即BC=EF在△ABC和△DEF中，∵AB=DE(已知)AC=DF