机械优化设计第三章ppt课件.ppt

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1、第三章无约束问题的最优化方法主要内容§3.1引言§3.2一维搜索方法§3.3坐标轮换法和Powell法§3.4梯度法和共轭梯度法§3.5牛顿法和变尺度法§3.6无约束优化设计方法小结§3.1引言求一组n维设计变量X=[x1,x2,…,xn]T,使目标函数达到min.f(X)X∈Rn即求目标函数的最优解：最优点x*和最优值f(x*)。意义：为有约束优化方法的研究提供了策略思想、概念基础和基本方法；为有约束优化问题的直接解法提供了有效而方便的方法；不可避免地还存在无约束优化的设计问题。§3.1引言（续）内容：一维搜索：求最

2、优步长因子α(k)确定搜索方向S(k)多维（变量）优化：黄金分割插值法坐标轮换法共轭方向法梯度法共轭梯度法牛顿法DFP变尺度法§3.2一维搜索方法一、一维搜索定义：在第K次迭代时，从已知点X(k)出发，沿给定方向求最优步长因子α(k)，使f(X(k)+αS(k))达到最小值的过程，称为一维搜索。方法：解析法：f(x(k+1))=min.f(x(k)+αS(k))=f(x(k)+α(k)S(k))步骤：①f(X(k)+αS(k))沿S(k)方向x(k)台劳展开；②取二次近似：③对α求导，令其为零：§3.2一维搜索方法（续）

3、对α求导，令其为零。2.数值迭代法：直接法——应用序列消去原理：分数法黄金分割法近似法——利用多项式函数逼近（曲线拟合）原理：二次插值法三次插值法④求得最优步长因子：一、一维搜索定义：§3.2一维搜索方法（续2）单峰区间：在区间[α1，α3]内，函数只有一个峰值，则此区间为单峰区间。单峰区间内，一定存在一点α*，当任意一点α2＞α*时，f(α2)＞f(α*)，说明：单峰区间内，函数可以有不可微点，也可以是不连续函数；二.搜索区间的确定：f(x)0α1α3α0αf(x)α3α1f(α)αα3α2α*α10当α2＜α*时，仍

4、有f(α2)＞f(α*)，则α*是最优点，也即为最优步长因子α(k)。α2确定的搜索区间必定是一个含有最优点α*的单峰区间。§3.2一维搜索方法（续3）定步长搜索法:3.加速步长搜索法：4.外推法：f2=f(α1+t0)α1f1二.搜索区间的确定：§3.2一维搜索方法(续4）三.黄金分割法(0.618)：1.序列消去原理：f(α)αα3(1)α12α*α1(1)0α3(2)α11α21α22α1(2)α1(3)α3(3)§3.2一维搜索方法(续5）2.黄金分割与0.618：bd古希腊建筑师认为：边长为b，d的矩形建筑物，

5、若边长能符合以下条件，则最美观：欧几里德几何称这种边长分割为黄金分割。序列消去法中，为提高效率，减少计算量和存储量，希望三.黄金分割法(0.618)：§3.2一维搜索方法（续6）四.二次插值法（抛物线法）：1.基本原理：步骤：§3.2一维搜索方法（续7）2.步骤：3.结果分析：问题：若不满足精度，如何缩小区间，再拟合？4.方法评价：与黄金分割法相比，二次插值法充分利用函数值的信息；收敛快；调用函数次数少。四.二次插值法（抛物线法）：§3.3坐标轮换法和Powell法一.坐标轮换法：1.基本思想：2.搜索方向与步长：每次以

6、一个变量坐标轴作为搜索方向，将n维的优化问题转化为一维搜索问题。例，第k轮迭代的第i次搜索，是固定除xi外的n-1个变量，沿xi变量坐标轴作一维搜索，求得极值点xi(k)…n次搜索后获得极值点序列x1(k),x2(k,…,xn(k)，若未收敛，则开始第k+1次迭代，直至收敛到最优点x*。§3.3坐标轮换法和Poweel法（续）一.坐标轮换法：3.方法评价：方法简单，容易实现。当维数增加时，效率明显下降。收敛慢，以振荡方式逼近最优点。受目标函数的性态影响很大。如图a)所示，二次就收敛到极值点；如图b)所示，多次迭代后逼近极

7、值点；如图c)所示，目标函数等值线出现山脊（或称陡谷），若搜索到A点，再沿两个坐标轴，以±t0步长测试，目标函数值均上升，计算机判断A点为最优点。事实上发生错误。§3.3坐标轮换法和Powell法（续2）二.Powell法（共轭方向法、方向加速法）：1.基本思想：2.共轭方向的定义：若沿连接相邻两轮搜索末端的向量S方向搜索，收敛速度加快。因为两条平行线S1,S2与同心椭圆族相切，两个切点的连线S直指中心。称S1,S2与S为共轭方向。目的：以共轭方向打破振荡，加速收敛。§3.3坐标轮换法和Poweel法（续3）3.共轭方向

8、的性质：二.Powell法（共轭方向法、方向加速法）：§3.3坐标轮换法和Poweel法（续4）4.步骤：§3.3坐标轮换法和Poweel法（续5）6.方法评价：计算步骤复杂。是二次收敛方法，收敛快。对非正定函数，也很有效。是比较稳定的方法。5.说明：若是正定二次函数，n轮迭代后收敛于最优点x*。若是非正定二次函数，