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1、曲线拟合的最小二乘法问题的提出插值法是利用函数在一组节点上的值，构造一个插值函数来逼近已知函数，并要求插值函数P(x)与已知函数f(x)在节点处满足插值条件P(xi)=f(xi)(i=0,1,2,...,n)。在实际应用中往往会遇到这种情况：节点上的函数值并不是很精确，这些函数值是由测量或实验得来的，不可避免地带有误差，如果插值会保留这些误差，影响精度;另外若要预测以后某点的函数值,插值的误差也会较大.为了尽量减少这些误差的影响，从总的趋势上使偏差达到最小，这就提出了曲线拟合的最小二乘法。某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有
2、直接关系，下表给出的是实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。提示：将拉伸倍数作为x,强度作为y,在坐标纸上标出各点，可以发现什么?实例讲解数据表格实际测定的24个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录从上图中可以看出纤维的强度与拉伸倍数大致成线性关系，可用一条直线来表示两者之间的关系。解：设y*=a0+a1x，令δi=yi*-yi=a0+a1xi-yi，为最小(n=24)yxyiy*i.xiδi=yi*-yi根据最小二乘原理，即使误差的平方和达到最小，也就是使即求使F(a0,a1)=有最小值的a0和a1的值.为
3、最小计算出它的方程组得:所求直线方程为：y*=0.15+0.859x我们称求使δ达到最小的拟合曲线为曲线拟合的最小二乘法。解得：a0=0.15a1=0.859y*=a0+a1xi，令δi=yi*-yi=a0-a1xi-yi分别对a0,a1求偏导,得:n=24节点个数使正规方程组最小二乘原理当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数P(x)在数据点(xi,yi)处的偏差为0，也即δi=P(xi)–yi≠0(i=1,2,…,n)，但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势，需对偏差有所要求，我们可采用下列标准来度量误差的大
4、小：曲线拟合的最小二乘法通常选择(3)，要求偏差的平方和最小—最小二乘原理此即称为最小二乘原理。我们称用最小二乘原理求拟合曲线的方法(即使
5、
6、δ
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8、22达到最小的拟合曲线)为曲线拟合的最小二乘法。由最小二称原理求得的拟合函数也称为最小二乘拟合函数.通常选择(3)，要求偏差的平方和最小即：最小δi=P(xi)–yi•最小二乘拟合函数的求法对给定的一组数据(xi,yi)(i=1,2,...,n)设拟合函数P(x)的形式为1、线性拟合y=a0+a1x得到正规方程组:代入y=a0+a1x即可.解得aa10,求使F(a0,a1)=
9、有最小值的a0和a1的值.2、m次多项式拟合分别对ak求偏导，得到正规方程组：求使最小的aik=0,1,2,…,m求出ai(i=0,1,2,…,m),代入P(x)即可.P(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm设拟合函数为：m=1时就是线性拟合.解1)确定V=(I)的形式。作出数据点的散点图(如下图)，可以看出这些点在一条直线的附近，故用线性函数拟合数据，即2)建立方程组：例题4.442,7.61,221,31,6616161261=====åååå====iiiiiiiiiVIVIIn拟合函数经验公式úûùê
10、ëé=úûùêëéúûùêëé4.4427.612213131610aa032.2,215.010=-=aa则正规方程组为：3)求拟合函数，解所得正规方程组得：所求拟合函数为：V=-0.215+2.032I4.442,7.61,221,31,6616161261=====åååå====iiiiiiiiiVIVIIn注:二次多项式拟合的正规方程组是几元的?例：某化学反应中，测得生物浓度y(%)与时间t(min)的数据如下：t12345678y4.006.408.008.809.229.509.709.86t9101112
11、13141516y10.0010.2010.3010.4210.5010.5510.5810.60求y与t的近似函数关系。解：由观测数据(ti,yi)作图如下：由图可见，反应初期浓度增加很快，一段时间后趋于定值。所以考虑更一般的拟合函数：鉴于曲线有类似特点，•最小二乘拟合函数的求法对给定的一组数据(xi,yi)(i=1,2,...,n)设拟合函数P(x)的形式为1、线性拟合y=a0+a1x得到正规方程组:代入y=a0+a1x即可.解得aa10,求使F(a0,a1)=有最小值的a0和a1的值.2、m次多项式拟合分别对ak求
12、偏导，得到正规方程组：求使最小的aik=0,1,2,…,m求出ai(i=0,1,2,…,m),代入P(x)即可.P(x)=a0+a1x+a2x2+...+amxm设拟合函数为：m=1时就是线性拟合.3、设拟合函数P(x)的形式为其中φ0(x),φ1(x),...,φm(x)为已知的一组线性无关的基函数.P(x)=a0
