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1、§9.9曲线与方程基础知识自主学习要点梳理1.曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是.（2）以这个方程的解为坐标的点都是.那么这个方程叫做，这条曲线叫做.这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线2.求动点的轨迹方程的一般步骤（1）建系——建立适当的坐标系.（2）设点——设轨迹上的任一点P（x，y）.（3）列式——列出动点P所满足的关系式.（4）代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简.（5）证明——证明
2、所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.3.两曲线的交点（1）由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组，两条曲线就没有交点.（2）两条曲线有交点的条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.公共解无解充要基础自测1.f（x0，y0）=0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析利用曲线与
3、方程定义的两条件来确定其关系，∵f（x0，y0）=0可知点P（x0,y0）在曲线f（x,y）=0上，又P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上时，有f（x0，y0）=0，∴f（x0，y0）=0是P（x0，y0）在曲线f（x，y）=0上的充要条件.C2.方程x2+xy=x的曲线是（）A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线解析方程变为x（x+y-1）=0，∴x=0或x+y-1=0.故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.C3.已知点A（-2，0）、B（3，0），动点P（x,y）满足·=x2-6，则点P的轨迹是（）A.圆B.椭
4、圆C.双曲线D.抛物线解析=（-2-x，-y），=（3-x，-y），则·=（-2-x）（3-x）+（-y）2=x2-6，化简得y2=x,轨迹为抛物线.D4.已知定点P（x0，y0）不在直线l:f(x,y)=0上，则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一条（）A.过点P且垂直于l的直线B.过点P且平行于l的直线C.不过点P但垂直于l的直线D.不过点P但平行于l的直线解析∵P（x0，y0）不在直线l上,∴f（x0，y0）≠0.∴方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示的直线与l平行.又f（x0，y0）-f（x0，y0）=0.∴点P（x
5、0，y0）在方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的直线上，即直线过P点.B5.已知两定点A（-2，0），B（1，0）,如果动点P满足
6、PA
7、=2
8、PB
9、，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（）A.B.4C.8D.9解析设P（x，y），则由
10、PA
11、=2
12、PB
13、得(x+2)2+y2=4［(x-1)2+y2］,即（x-2）2+y2=4，故P点的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆.∴所围成的图形的面积等于·22=4.B题型一直接法求轨迹方程【例1】如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，
14、求线段AB中点M的轨迹方程.设M（x，y），则A、B两点坐标可用x,y表示，再利用·=0,建立等式即可.思维启迪题型分类深度剖析解设点M的坐标为（x,y）,∵M是线段AB的中点，∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.探究提高（1）本题中的等量关系还有kPA·kPB=-1，
15、AB
16、=2
17、PM
18、.但利用kPA·kPB=-1时，应分直线l1斜率存在和不存在两种情况,
19、应用
20、AB
21、=2
22、PM
23、时，运算较繁.（2）求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上.知能迁移1已知动点M到定点A(1,0)与定直线l:x=3的距离之和等于4,求动点M的轨迹方程.解如图所示,设M（x,y）是轨迹上任意一点,作MN⊥l于N.则
24、MA
25、+
26、MN
27、=4，即=4-
28、x-3
29、.当3≤x≤4时，=7-x.即y2=-12(x-4)(3≤x≤4).当0≤x≤3时，=x+1,即y2=4x(0≤x≤3).∴M的轨迹方程是y2=-12(x-4)(3≤x≤4)和y2=4x(0≤x≤3).题型二利用定义法求轨迹方
30、程【例2】一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线.利用两圆的位置关系—相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆
