六年级上册奥数学案-应用同余解题例题练习题通用版(无答案).docx

《六年级上册奥数学案-应用同余解题例题练习题通用版(无答案).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八讲应用同余解题在五年级我们已初步学习了同余的有关知识．同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．例1a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便．例2若a为自然数，证明10│（a1985－a1949）．分析如果换一种方式表达，所要证明的即是要证a1985与a1949个位数字相同．用对于模10两数同余来解，可以使解题过程简化．分析①n÷9＝商⋯r，那么9│（n－r），根据n－r＝商

2、×9，以及n－r的个位数字，可推算出商的个位数字．②抓住“一个整数与它的各位数字之和于模9同余”性，可以很快的化大数小数．例5设2n＋1是数，明：12，22，⋯，n2被2n＋1除所得的余数各不相同．分析道肯定不可能通各数被2n＋1除去求余数．那么我可以考从反面入手，假存在两个相同的余数的，就会生矛盾．而中的推是步步有根据的，所以生矛盾的原因是假不合理．从而明假不成立，因此原来的是正确的。：a除以13所得余数是几？例7求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数．例8出12个彼此不同的两位数，明：由它中一定可以

3、出两个数，它的差是两个相同数字成的两位数．分析道要考到以下三点．①两位数的数相同，它一定能被11整除．②遇到数是任意的，需排个序，表述起来比方便．③用12个数中最大的数依次地分减去其余11个数可得到11个差．若差中有相同数成的两位数，得；若差中没有合条件的两位数，11个（差）数各自除以11，所得余数只可能在｛1，2，3，⋯，10｝中，必有两个差数的余数相同，考用余数造抽解．例9试证不小于5的质数的平方与1的差必能被24整除．例10任给七个不同的整数，证明其中必有两个数，其和或差是10的倍数．分析首先考虑什么样的两

4、个整数的和或差可以被10整除．设两个整数a、b，若a≡b（mod10），则10│（a－b）；若a≡r（mod10），而b≡10－r（mod10），则10│（a＋b），只有这两种情况．但是如果按整数除以10的余数造抽屉，就有十个抽屉，对于已知条件中给定的七个数无法应用抽屉原理，所以要考虑如何造六个抽屉．根据首先考虑的两个整数被10除的两种情况，可以把余数之和等于10的并成一类，这样分为：10k、10k±1、10k±2、10k±3、10k±4、10k±5六类，恰好构造六个抽屉，再应用抽屉原理可解此题．八1．甲、乙两校

5、合学生乘去春游，每可以乘36人，两校各自坐若干后，甲校余下的13人与乙校余下的人恰好又坐一．春游中甲校的每位同学分与乙校的每位同学合一影留念．如果每卷胶卷可拍36照片，：拍完最后一照片后，相机里的胶卷可以拍几？（提示：相当于：甲数除以36余13，乙数除以36余23，若甲、乙之除以36的余数r，求36－r＝？）．2．求19931994÷7的余数．3．求：32000＋41993≡0（mod5）．5．求足除以5余2，除以7余4，除以11余3的最小三位数．6．70个数排成一行，除了两的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两

6、两个数的和．一行最左的几个数是：0，1，3，8，21，⋯．最右的一个数被6除的余数是几？（提示：算数列的各除以6的余数，找律）7．任意出6个不同的自然数，明其中有两个数，它的差是5的倍数．