换元积分法ppt课件.ppt

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1、第二节换元积分法一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法一、第一类换元法例1原因在于被积函数cos2x与公式中的被积函数不一样.如果令u=2x,则cos2x=cosu,du=2dx,从而所以有?分析综合上述分析,此题的正确解法如下:解定理5.2证依题意有即有又由复合函数微分法可得根据不定积分的定义,则有公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式,应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.例2求解例3求解用第一换元积分法求不定积分的步骤是:上述过程可表示为例4求解还应注意到,在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换还需要在被积表达式中再凑出即,也就是,

2、这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为在上述解题过程中u可不必写出,从这个意义上讲,第一换元积分法也称为“凑微分”法.例5求解例6求解例7求解例8求解例9求解用凑微分法计算不定积分时,熟记凑微分公式是十分必要的,以下是凑微分公式(在下列各式中,a,b均为常数,且):例10求解例11求解例12求解类似地,有例13求类似地,有解第一换元积分法还适合求一些简单的三角有理式的积分.如计算形如:的积分,可分两种情况:例14求解例15求解还需说明的是,计算某些积分时,由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形成,所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同,但是它们之间至多只相差一个常数项,属于同一

3、个原函数族.例16求解法1解法2解法3二、第二类换元积分法例17求解一般的说,若积分不易计算可以作适当的变量代换,把原积分化为的形式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后,还要将代回.还原成x的函数,这就是第二换元积分法计算不定积分的基本思想.定理5.3证由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式,有这就说明了是的f(x)原函数.例18求解例19求解第二换元积分法求不定积分时,可按以下步骤进行例20求解axt例21求解axt例22求解axt例20—例22中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.一般的说,应用三角换元法作积分时适用于如下情形:补充的积分公式:

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