拉格朗日恒等式.doc

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1、有一个适合中学生的拉格朗日恒等式:[(a1)^2+(a2)^2][(b1)^2+(b2)^2]=[(a1)(b1)+(a2)(b2)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2[(a1)^2+(a2)^2+(a3)^2][(b1)^2+(b2)^2+(b3)^2]==[(a1)(b1)+(a2)(b2))+(a3)(b3)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2++[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+[(a2)(b3)-(a3)(b2)]^2[(a1)^2+...+(an)^2][(b1)^2+...+(bn)^2]==[(

2、a1)(b1)+...+(an)(bn)]^2+[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2++[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..+[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2用数学归纳法证明.1.显然n=1时,[(a1)^2][(b1)^2]=[(a1)(b1)]^2.拉格朗日恒等式成立.2.设n=k时,拉格朗日恒等式成立.当n=k+1时,[(a1)^2+...+(a(n+1))^2][(b1)^2+...+(b(n+1))^2]--[(a1)(b1)+...+(a(n+1))(b(n+1))]^2=={[(a1)^2+

3、...+(an)^2][(b1)^2+...+(bn)^2]--[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]^2}++{[(a(n+1))^2(b1)^2+(b(n+1))^2(a1)^2]+..++[(a(n+1))^2(bn)^2+(b(n+1))^2(an)^2]--2a(n+1)b(n+1)[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]}=={[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..++[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2}++{[(a(n+1))^2(b1)^2-

4、2a(n+1)b(n+1)(a1)(b1)++(b(n+1))^2(a1)^2]+..+[(a(n+1))^2(bn)^2--2a(n+1)b(n+1)(an)(bn)+(b(n+1))^2(an)^2]}=={[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..++[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2}++{[(a(n+1))(b1)-b(n+1)(a1)]^2++..+[(a(n+1))(bn)-b(n+1)(bn)]^2}所以n=k+1时,拉格朗日恒等式成立.这样数学归纳法证明了拉

5、格朗日恒等式.