拉格朗日函数的可加性.doc

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1、拉格朗日函数的可加性假设力学系统由A和B两部分组成，且每一部分都是封闭的，因而分别有拉格朗日函数若两部分相距很远，以至于它们之间的相互作用可以忽略不计时，整个系统的总动能和势能分别趋向极限因而系统的拉格朗日函数趋向极限此即拉格朗日函数的可加性。于是，在拉格朗日方程组中，A和B两个部分的变量完全分开。可见，拉格朗日函数的可加性意味着，在没有相互作用的系统中，任一部分的运动方程不可能包含另一部分的量。另一方面，由拉格朗日方程可以看出，将拉格朗日函数乘以一个任意常量，不会改变运动微分方程。这似乎会导致一种不确定性：各个孤立系统（例如上面提到的系统A

2、和B）的拉格朗日函数可以乘以不同的任意常量，分别得到、。但是，拉格朗日函数的可加性消除了这种不确定性。按拉格朗日函数的可加性要求，有上式意味着：不同系统所乘以的任意常量、应具有相同的量纲，从而或者为无量纲的量，否则不满足拉格朗日函数的可加性要求，即拉格朗日函数的可加性只允许所有力学系统都乘以同一个任意常量。例子：由两个相距甚远的单个自由质点（两质点间相互作用可以忽略不计）组成的质点系，对于每个自由质点来说，通过对称性和伽利略相对性原理得到其拉格朗日函数的形式为（C为常量），且取，此时m具有质量的物理意义。对于质点系，根据拉格朗日函数的可加性，

3、系统拉格朗日函数为，即代表不同质点的质量之间的比例关系，这一比例关系是具有实际物理意义的，和应具有相同的量纲。由以上讨论，我们还可以看到，拉格朗日函数的可加性要求只允许所有力学系统都乘以同一个任意常量，这样拉格朗日函数的可加性就消除了拉格朗日方程中拉格朗日函数的不确定性。