指数函数公式.doc

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1、1数学术语指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于2.,还称为欧拉数。当a>1时,指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在x等于0的时候y等于1。当0

2、它定义在所有正数x上。有时,尤其是在科学中,术语指数函数更一般性的用于形如的指数函数函数,这里的a叫做“底数”,是不等于1的任何正实数。本文最初集中于带有底数为欧拉数e的指数函数。指数函数的一般形式为(a>0且≠1)(x∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数中可以看到:(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a等于0函数无意义一般也不考虑。(2)指数函数的值域

3、为大于0的实数集合。(3)函数图形都是下凸的。(4)a>1时,则指数函数单调递增;若0

4、数具有反函数。2公式推导e的定义:设a>0,a≠1方法一:()'指数函数======特殊地,当a=e时,()'=(lnx)'=1/x。方法二:设,两边取对数lny=xlna两边对x求导:y'/y=lna,y'=ylna=a^xlna特殊地,当a=e时,y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xlne=e^x。eº=13函数图像指数函数(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到上相应的底数由小变大。(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大变小。(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的

5、记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。(如右图)。(4)与的图像关于y轴对称。4幂的比较比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法;(3)中间值法:要比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递性得到A与B之间的大小。比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意:(1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。例如:,因为3大于1所以函数单调递增(即x的值越大,对应的y值越大),因为5大于4,所以大于。(2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可指数函数以利用指数函数图像的变化规律

6、来判断。例如:,,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减;3大于1,所以函数图像在定义域上单调递增,在x=0是两个函数图像都过(0,1)然后随着x的增大,y1图像下降,而y2上升,在x等于4时,y2大于y1.(3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较。如:<1>对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。<2>在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与“1”的大小),就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢?由指数函数的图像和性质可知“同大异小”

7、。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向(例如:a〉1且x〉0,或0〈a〈1且x〈0)时,大于1,异向时小于1.〈3〉例:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由.⑴因为4>1,所以在R上是增函数;⑵因为0<1/4<1,所以在R上是减函数5定义域x∈R指代一切实数,就是R。6值域对于一切指数函数来讲。他的a满足a>0且a≠1,即说明y>0。所以值域为(0,)。a=1时也可以,此时值域恒为1。7化简技巧(1)把分子、

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