常数项级数的审敛法ppt课件.ppt

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1、一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛§11.2常数项级数的审敛法上页下页铃结束返回首页一、正项级数及其审敛法正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界.正项级数各项都是正数或零的级数称为正项级数.这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单调有界数列是有极限.下页定理1(正项级数收敛的充要条件)定理2(比较审敛法)>>>推论下页解下页定理2(比较审敛法)设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k>0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.

2、因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若设∑un和∑vn都是正项级数,且unkvn(k>0,nN).若级数∑vn收敛,则级数∑un收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散.p级数的收敛性证下页定理2(比较审敛法)调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切定理3(比较审敛法的极限形式)下页解>>>下页解定理3(比较审敛法的极限形式)下页收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)解所以根据比值审敛法可知所给级数收敛

3、例5证明级数是收敛的所以根据比值审敛法可知所给级数发散下页解收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)提示:所以根据比值审敛法可知所给级数收敛下页解收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散定理4(比值审敛法达朗贝尔判别法)讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;下页定理5(根值审敛法柯西判别法)收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散所以根据根值审敛法可知所给级

4、数收敛因为解定理5(根值审敛法柯西判别法)收敛当1(或)时级数发散当1时级数可能收敛也可能发散所以根据根值审敛法可知所给级数收敛因为解下页时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn近定理6(极限审敛法)因为解根据极限审敛法知所给级数收敛下页定理6(极限审敛法)因为解根据极限审敛法知所给级数收敛首页设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之

5、不成立.例如,收敛,发散.1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.(2)发散,故原级数发散.二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.下页例如二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.定理7(莱布尼茨定理)(1)unun1(n123)则级数收敛且其和su1其余项rn的绝对值

6、rn

7、un1>>>下页这是一个交错级数.解由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和s

8、rn

9、

10、un1.定理7(莱布尼茨定理)因为此级数满足例12收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛下页例如三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定理8(绝对收敛与收敛的关系)应注意的问题下页解下页定理8(绝对收敛与收敛的关系)例13例14.证明级数绝对收敛:令因此收敛,绝对收敛.结束定理8(绝对收敛与收敛的关系)解例142.则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:∴(B)错

11、;又C