非线性规划(管理运筹学,李军).docx

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1、6非线性规划1、判断函数的凸凹性（1）f(x)(4x)3，x4（2）f(X)x122x1x23x22（3）f(X)x1x2（1）解：f'(x)3(4x)20，Qx<=4,故f(x)在（-∞，4]上是不减函数，f''(x)6(4x)0，故f(x)在（-∞，4]上是凸函数。（2）解：f(x)的海赛矩阵H(x)222，因H（x）正定，故f（x）为严格的凸函数。6（3）解：取任意两点X(1)(a1,b1)、X(2)(a2,b2)，从而f(X(1))a1.b1，f(X(2))a2.b2，f(X(1))T(b1,a1)看下式是否成立：f(X(2)

2、)f(X(1))f(X(1)).(X(2)X(1))a2.b2a1.b1(b1,a1)(a2a1,b2b1)T(a2a1).(b2b1)0Qa1,a2,b1,b2是任意点，并不能保证上式恒成立，故所以f(X)x1x2既非凸函数，也非凹函数。2、分别用斐波那契法和黄金分割法求下述函数的极小值，初始的搜索区间为x[1,15]，要求

3、f(xn)f(xn1)

4、0.5。f(X)x415x372x2135x解：斐波那契法已知=0.5/(15-1)=1/28、a=1、b=15，有Fn128，即n8。1a1bFF7(ba)153421(151)6.3

5、5298b1aFF7(ba)13421(151)9.64718f(a1)168.876f(b1)592.4527故搜索区间可以从[1,15]缩减为[1,9.6471]。已经存在一个已知的试点a16.3529及其函数值f(a1)168.876，将原试点a16.3529改为b16.3529，f(b1)168.876。计算一个新试点a19.64711321(9.64711)4.2941，f(a1)99.7703f(b1)168.876，故搜索区间缩减为[4.2941,9.6471]。将原有点a16.3529视为a1，新的试点b14.2941

6、138(9.64714.2941)7.5883故搜索区间缩减为[4.2941,7.5883]。继续选取对称点比较函数值，以使区间进一步缩短，直到区间长度不大于0.5，因此符6.352956.7647合精度要求的点为26.5588，近似极小值为-169.799。黄金分割法a1，b15，a1a0.382(ba)10.382(151)6.348b1a0.618(ba)00.618(151)9.652,f(a16.348)168.822f(b19.652)595.7061，故搜索区间缩减为[1,9.6527]。令b1=6.348，寻找新点a

7、1=4.3051，f(a14.348)100.096f(b16.348)168.822，故搜索区间缩减为[4.3051,9.6527]。f(a15.5674)147.644，f(b17.6095)114.599f(6.0495)163.291，f(6.8294)166.403f(6.348)168.822，f(6.8294)166.403因6.8295-6.348=0.4815<0.5，因此符合精度要求的近似极小点为6.82956.3486.58875，近似2极小值为-169.7。23、试计算出下述函数的梯度和海赛矩阵（1）f(X)x

8、12x22x32（2）（3）f(X)3x1x224ex1x2（4）f(X)ln(x12x1x2x22)f(X)x1x2ln(x1x2)200（1）解：f(X)(2x1,2x2,2x3)T，H(X)020002（2）解：f(X)(22x1x22,2x12x22)Tx1x1x2x2x1x1x2x2H(X)12x122x1x2x22x124x1x2x222x1x2x22)2x124x1x2x22x122x1x22x22(x1（3）解：f(X)(3x124x2ex1x2,6x1x24x1ex1x2)TH(X)4x224x2ex1x26x24

9、(1x1x2)ex1x24(1x1x2)ex1x26x14x12ex1x26x2（4）解：f(X)(x2x1x211,x1x2lnx11)Tx1x2x2(x21)x1x2212x2x1x22lnx1x1x21H(X)x1x21lnx21x2(lnx1)21x2x1x1x1x12x24、用梯度法（最速下降法）求函数f(X)4x14x22x12x1x2x22的极大点，初始点X(0)(1,1)T。解：初始近似点X(0)(1,1)T，f(X)(44x1x2,4x12x2)Tf(X(0))(1,1)T，f(X(0))2(1)2(1)2]22[4

10、1f(X(0))Tf(X(0))1又因为H(X)，0=f(X(0))TH(X(0))f(X(0))2123下一迭代点X(1)=X(0)10f(X(0))=112112，f(X(1))(1,3)T13222f(X(1)