导数的概念--省优获奖课件.ppt

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1、导数的概念引入问题:曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程是什么?P(1,2)y=x2+1xy-111O法一:判别式法引入问题:曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程是什么?法二:函数极限法QPy=x2+1xy-111OjMDyDx曲线的切线βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着

2、点P逐渐转动的情况.动画我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.注意：曲线在某点处的切线1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只

3、有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.1.导数的概念上节课讨论了瞬时速度、曲线的切线的斜率和边际成。虽然它们的实际意义不同,但通过比较可以看出它们的数学表达式结构是一样的,即计算极限,这就是我们要学习的导数的定义.定义：设函数y=f(x)在点x0处附近有定义,当自变量x=x0处有增量Δx时函数有相应的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果当Δx0时,Δy/Δx的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在X=x0处的导数(或变化率)记作即:例如:瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数.是函数f(x)在以x0与x0+Δx为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx

4、,x0])上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度．如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数f(x)在点x0处不可导.由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.例1:求函数y=x+1/x在x=2处的导数.求导步骤:如果函数y＝f(x)在区间(a,b)内每一点都有导数.这时,对每一个x(a,b)都

5、有唯一确定的导数值与它对应,这样在区间(a，b)内就构成一个新的函数.这个新的函数叫做函数f(x)在区间(a,b)内的导函数,记作,即:在不致发生混淆时，导函数也简称导数．注意:函数y=f(x)的导数仍是一个函数,而函数y=f(x)在x=x0处的导数是一个常数.2.导函数的概念求函数y=f(x)的导数的一般方法是:3.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是.故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:例2:设f(x)为可

6、导函数,且满足条件,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.故所求的斜率为-2.例3:巳知曲线上一点,求点P处的切线方程.4.小结a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一

7、个常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。（3）如果函数y＝f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数,就说函数y＝f(x)在开区间(a,b)内可导，这时，对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间(a,b)内可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。（4）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。d.函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切