专题十一-因式分解的常用方法.docx

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1、专题十一-因式分解的常用方法--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解

2、决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b

3、)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；222222(2)(a±b)=a±2ab+b———a±2ab+b=(a±b)；(3)(a+b)(a22333322-ab+b)=a+b------a+b=(a+b)(a-ab+b)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2

4、-ab-bc-ca)；例.已知a，b，c是ABC的三边，且a2b2c2abbcca，则ABC的形状是（）A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解：a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)20abc三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：amanbmbn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有2b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一

5、组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！=(mn)(ab)例2、分解因式：2ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)练习：分解因式1、a2abacbc2、xyxy1（二）分组后能直接运用公

6、式例3、分解因式：x2y2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2y2)(axay)=(xy)(xy)a(xy)=(xy)(xya)例4、分解因式：a22abb2c2解：原式=(a22abb2)c2=(ab)2c2=(abc)(abc)练习：分解因式3、x2x9y23y4、x2y2z22yz综合练习：（1）x3x2yxy2y3（2）ax2bx2bxaxab（3）x26xy9y216a28a1（4）a26ab12b9

7、b24a（5）a42a3a29（6）4a2x4a2yb2xb2y（7）x22xyxzyzy2（8）a22ab22b2ab13（9）y(y2)(m1)(m1)（10）(ac)(ac)b(b2a)（11）a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc（12）a3b3c33abc四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已

8、知0＜a≤5，且a为整数，若2x23xa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求b24ac>0而且是一个完全平方数。于是98a为完全平方数，a1例5、分解因式：x25x6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：x25x6=x2(23)x2313