“时代杯”2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛答案.docx

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1、“时代杯”2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题（初中组）（2013年12月18日下午15∶30~17∶00）一二三题总号1-7-11121314分610密得分注意事项：1．本试卷共4页．满分150分．考试时间90分钟．2．用钢笔或圆珠笔（蓝色或黑色）直接答在试卷上．3．答卷前将密封线内的项目填写清楚．一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一个是正确的．每题7分，共42分）1．设a为负数，化简a1，结果是（）aA．aB．aC．aD．a号考ABOO＝25°，则∠P2．如图，是圆的直径，，分别切圆于点，．若∠等于PBPCBCACE（）B封A．50°

2、B．55°OC．60°D．65°APCE名（第2题）姓3．在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x

3、x

4、－4x＋1的图像与x轴交点的个数为（）A．1B．2C．3D．44．如图，在△中，∠＝120°，点D在边上，且:=3:2，⊥，校ABCACBABADDBACCD学则tanA等于C（）23A．5B．523D33ADBC．．5（第4题）55．设a，b为实数，c为整数，代数式ax3＋bx＋c在x＝1时的值为M，在x＝－1时的值为线N，则M和N一定不可能是（）A．＝1且＝2B．＝3且＝1MNMNC．M＝2且N＝4D．M＝4且N＝66．如所示的几何体是由11

5、个相同的小正方体放而成，在不改它的三的情况下，最多可以取走小正方体的个数（）A．1B．2C．3D．4正前方（第6题）二、填空（每7分，共28分）7．从1，2，3，4四个数中一次随机地取两个数，所取出两个数足其中一个数是另一个数的两倍的概率是．8．如，A的半径2cm，B的半径4cm．当点B在A的周上运一周后，B的周出的形的面__________cm2．AB9．k是正整数，k!＝1×2×3×⋯×k，（第8题）S＝1!·(12＋1＋1)＋2!·(22＋2＋1)＋3!·(32＋3＋1)＋⋯＋100!·(1002＋100＋1)，则S1＝．101!10．在△A

6、BC中，点E，F分是AB，AC的中点．已知CE＝6，BF＝9，△ABC面的最大．三、解答（第11、第12每18分，第13、第14每22分，共80分）11．（本分18分）甲桶中有酒精5千克，乙桶中只有水10千克．第一次从甲桶中取出x千克的酒精，从乙桶中取出x千克的水，倒入方桶内拌均匀．第二次再从甲桶中取出x千克的混合液，从乙桶中取出x千克的混合液，倒入方桶内拌均匀．（1）用含x的式子分表示第一次倒入方桶内拌后甲、乙两桶的酒精度；（2）若第二次倒入方桶内拌后，甲、乙两桶的酒精度相等，求x的．12．（本题满分18分）设n为正整数，a为非零实数，已知a3n2

7、a5＝3，求an1的值．a2n3an4a513．（本题满分22分）如图，M是△ABC的边AB的中点，D是MC延长线上一点，满足∠ACM＝∠BDM．（1）求证：AC＝BD；DAB（2）若∠CMB＝60°，求的值．CDCAMB(第13题)14．（本题满分22分）22（1）若一个整数m可以表示为形如a＋kb（a，b，k均为整数），则称m为“k型数”．如13是“3型数”，因为13＝12＋3·22．又如－26是“-3型数”，因为－26＝12＋(－3)·32．（i）证明：若两个整数m，n都是“1型数”，则这两数的积mn也是“1型数”；（ii）已知两个整数m，n都

8、是“k型数”，试判断mn是否是“k型数”，并说明理由．（2）试求满足xy＋2zw＝7，的整数数组(x，y，z，w)的个数．xz－yw＝3密“时代杯”2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛试题参考解答一、（下列各的四个中，只有一个是正确的．每7分，共42分）1．D．号2．A．考3．C．4．C．封5．A．6．B．名二、填空（每7分，共28分）姓17．．38．32π．9．101．校10．36．学三、解答（第11、第12每18分，第13、第14每22分，共80分）11．（本分18分）解：（1）第一次倒入方桶内拌后甲桶的酒精度5x，5乙桶的酒精度x．⋯⋯⋯⋯

9、⋯6分10线5xxx(5x)（2）第二次倒入方桶内拌后甲桶的酒精度510，55xx(10x)5x乙桶的酒精度10．⋯⋯⋯⋯⋯12分105x(5x)xx5xxx(10x)由510＝510，⋯⋯⋯⋯⋯15分510得9x260x1000，解之得x10．310故符合意的x的3．⋯⋯⋯⋯⋯18分12．（本分18分）解：因a3n2a5a2n3an4a5a3n31⋯⋯⋯⋯6分a2n2an11(an11)(a2n2an11)a2n2an11an11，⋯⋯⋯⋯16分而a3n2a5a5＝3，所以an11＝3a2n3an4故an1＝4．⋯⋯⋯⋯18分13．（本分22分）

10、明：（1）如(1)，延CM到F，使得MF＝CM，接AF，BF．因M是AB的中点，D所以四形AFBC是平行四形