最新高三高考抽象函数总结.doc

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1、最新高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。例一.若函数的定义域为，求函数的定义域。提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同

2、（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的与的范围等同。变式训练1：已知函数的定义域是［1，2］，求的定义域。变式训练2：已知函数的定义域是，求函数的定义域。二、求值问题例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①，；②，求f(3)，f(9)的值。注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。变式训练3：已知上的函数，且都有下列两式成立：的值为变式训练4:设函数为奇函数，则_____变式训练5：已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则=_________三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集

3、上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。变式6：若函数的值域为，求函数的值域。变式7：函数f(x)的定义域为，对任意正实数都有且，则——————变式8：已知函数对任意实数都有，且当时，，求在上的值域。四、解析式问题例四、设函数满足……①，求。评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。变式9：已知为偶函数，为奇函数，且有+，求,.五、单调性问题单调性的证明两种常用变换：（差变换）；（商变换）例五、设是定义

4、在[-1，1]上的奇函数，且对于任意的，当时，都有：。若，试比较与的大小。变式10：已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝5，求不等式的解.变式11：设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数，有，求证：在R上为增函数。变式12:定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·

5、f(2x-x2)>1，求x的取值范围。变式13：已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。变式14：已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。变式15：函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.(1)求的值;(2)求证:在R上是单调减函数;六、奇偶性问题例六、已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。变式16：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。变式17：已知定义在R上的函数对任意实数、恒有，且当时

6、，，又。(1)求证：为奇函数；(2)求证：为R上的减函数；变式18：设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1－x2)＝；求证：f(x)是奇函数；变式19：已知定义在上的函数满足条件：对于任意的，都有．当时，．（1）求证：函数是奇函数；（2）求证：函数在上是减函数；（3）解不等式．变式20：函数f（x）的定义域为D={x

7、x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；变式21：已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）

8、+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；变式22：设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．变式23：设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0.（1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数.变式24：已知函数当时，恒有.(

9、1)求证:是奇函数;(2)若.七、周期性：周期性：解决抽象函数的周