八年级数学最短路径问题课件.ppt

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1、八年级上册13.4课题学习最短路径问题引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．引入新知问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学

2、的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．探索新知B··Al（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象

3、为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）．BAlC追问1对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动

4、点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．探索新知问题2如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+

5、B′C′．探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′证明：在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．探索新知B·lA·B′CC′追问1证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？探索新知追问2回顾前面的探究过程

6、，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′运用新知练习1.如图，M为正方形ABCD的边CD的中点，BM＝10，在对角线BD上求作一点N，使MN＋CN的值最小，并求出这个最小值．运用新知练习2.如图，AD为等腰三角形ABC底边上的高，E为AC边上一点，在AD上求一点F，使EF＋CF最小．运用新知练习3.如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．运用新知练习4.如图，小华每天都要到李奶奶家做好事，在途中她要先到草场打一捆草，再到林区捡一捆柴

7、，然后到达李奶奶家，最后回家．试问她应该选择怎样的线路才能使行程最短？运用新知练习5.如图，MNPQ是一张台球桌子，桌子上球A与球B之间有其他球相隔，现要打A球，经桌边MN，NP两次反弹再碰到B球，请你画出A球的行走路线．运用新知练习6.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，OP＝6.(1)作出点P关于OB的对称点P1，关于OA的对称点P2，求△P1OP2的周长；(2)若点M为OA上一动点，点N为OB上一动点，求△PMN周长的最小值．运用新知练习7.如图，已知线段a，点A，B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q(点P在点Q的左

8、侧)，且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．归纳小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？（2）轴对称在所研究问题中起什么作用？如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC