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时间:2020-10-20
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1、高考数学考点归纳之圆的方程一、基础知识1.圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)❶圆心:(a,b),半径:r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)❷圆心:,半径:❶标准方程强调圆心坐标为(a,b),半径为r.❷(1)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;(2)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.2.点与圆的位置关系点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2r2.(2)若M(x
2、0,y0)在圆上,则(x0-a)2+(y0-b)2r2.(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0-a)2+(y0-b)2r2.二、常用结论(1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是(2)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.[典例] (1)圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是( )A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=4(2)圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-
3、3),B(-2,-5)的圆的方程为________.[解析] (1)根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.(2)法一:几何法设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,所以
4、CA
5、=
6、CB
7、,即=,解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.法二:待定系数法设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得解得a=-1,b=
8、-2,r2=10,故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.法三:待定系数法设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为,由题意得解得D=2,E=4,F=-5.故所求圆的方程为x2+y2+2x+4y-5=0.[答案] (1)A (2)x2+y2+2x+4y-5=0[题组训练]1.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )A.2+y2= B.2+y2=C.2+y2=D.2+y2=解析:选C 法一:根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),半径为r,则圆E的标准方程为(x-a
9、)2+y2=r2(a>0).由题意得解得所以圆E的标准方程为2+y2=.法二:设圆E的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2+y2-x-1=0,即2+y2=.法三:因为圆E经过点A(0,1),B(2,0),所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上,所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为
10、EB
11、==,所以圆E的标准方程为2+y2=.2.已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),则该圆的方程是________________.解析:
12、过切点且与x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-5=0,与y=-4x联立可求得圆心为(1,-4).所以半径r==2,故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.答案:(x-1)2+(y+4)2=83.已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为________________.解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P,Q两点的坐标分别代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0.③设x1,x2是方程③的两根,由
13、x1-x2
14、=6,得D2-4F=36,④联立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-
15、8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0[典例] (1)点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1(2)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的轨迹方程为______
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