高考数学专题——双曲线的定义及几何性质.doc

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1、高三数学一轮复习专讲专练——双曲线一、要点精讲1、双曲线的定义与几何性质：定义1、到两个定点与的距离之差的绝对值等于定长（小于）的点的轨迹2、到定点与到定直线的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹标准方程=1=1图形性质范围或，，或对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线顶点坐标，，，，焦点，，轴实轴的长为虚轴的长为离心率，其中准线准线方程是准线方程是2、双曲线的形状与的关系：因为双曲线的斜率，所以越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔。资料个人收集整理，勿做商业用途3、共渐近线的双曲线系方程：与=1有

2、相同渐近线的双曲线系方程可设为，若，则双曲线的焦点在轴上；若，则双曲线的焦点在轴上。资料个人收集整理，勿做商业用途二、高考链接1、（2010安徽理）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、2．（2013年湖北）已知,则双曲线:与:的（　　）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．（2013课标）已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（　　）A．B．C．D．4．（2013湖南）设F1、F2是双曲线C,(a>0，b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，资料个人收集整理，勿做商业用途且∠PF1F2=30°，则C的离心率为__________

3、_.5.（2010北京）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。资料个人收集整理，勿做商业用途6．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为______．资料个人收集整理，勿做商业用途解：由题意，双曲线的焦点在x轴上且m＞0，所以e＝＝，所以m＝2.资料个人收集整理，勿做商业用途三、典例精讲考点一：双曲线的定义1、(2011四川)双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________．资料个人收集整理，勿做商业用途解：双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P

4、到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由定义知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有＝＝，故d＝16.资料个人收集整理，勿做商业用途2、平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．资料个人收集整理，勿做商业用途解：双曲线的右焦点(4,0)，点M(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.资料个人收集整理，勿做商业用途3．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，

5、资料个人收集整理，勿做商业用途则

6、PM

7、－

8、PN

9、的最大值为__________．解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－＝1的两焦点．资料个人收集整理，勿做商业用途当

10、PM

11、最大，

12、PN

13、最小时，

14、PM

15、－

16、PN

17、最大，

18、PM

19、最大值为P到圆心F1的距离

20、PF1

21、与圆F1半径之和，同样

22、PN

23、最小＝

24、PF2

25、－1，从而

26、PM

27、－

28、PN

29、的最大值为

30、PF1

31、＋2－(

32、PF2

33、－1)＝

34、PF1

35、－

36、PF2

37、＋3＝2a＋3＝5.资料个人收集整理，勿做商业用途4.（09辽宁）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为。解：注意到P点在

38、双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0)，于是由双曲线性质

39、PF

40、－

41、PF’

42、＝2a＝4资料个人收集整理，勿做商业用途而

43、PA

44、＋

45、PF’

46、≥

47、AF’

48、＝5两式相加得

49、PF

50、＋

51、PA

52、≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.资料个人收集整理，勿做商业用途5．(2012大纲)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，

53、PF1

54、＝2

55、PF2

56、，则cos∠F1PF2=资料个人收集整理，勿做商业用途A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.资料个人收集整理，勿做商业用途解：依题意得a＝b＝，∴c＝2.∵

57、PF1

58、＝2

59、PF2

60、，设

61、PF2

62、＝m，则

63、

64、PF1

65、＝2m.资料个人收集整理，勿做商业用途又

66、PF1

67、－

68、PF2

69、＝2＝m.∴

70、PF1

71、＝4，

72、PF2

73、＝2.资料个人收集整理，勿做商业用途又

74、F1F2

75、＝4，∴cos∠F1PF2＝＝.故选C.资料个人收集整理，勿做商业用途6、中，A、B、C所对三边为，，求满足时，顶点A的轨迹，并画出图形。考点二：求解双曲线方程7、求适合下列条件的双曲线的标准方程⑴虚轴长为12，离心率为；⑵顶点间距离为6，渐近线方程为⑶与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；⑷与双曲线－=1有公共焦点，且过点