高中立体几何试题(答案).doc

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1、高中立体几何试题1.在正方体中，求二面角的大小．解析：如图9-43，在平面内作，交于E．连结，设正方体棱长为a，在△和△中，，，，∴　△≌△，∵　，∴　，∴　二面角的平面角．在Rt△中，，∴　，∴　,在△中，，，，，2.如图9-50，点A在锐二面角a-MN-b的棱MN上，在面a内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面b所成的角为30°，求二面角a-MN-b的大小．解析：如图答9-44，取AP上一点B，作BH⊥b于H，连结AH，则∠BAH为射线AP与平面b所成的角，∴　∠BAH=30°，再作BQ⊥MN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面b内的射影．由三垂线定理的逆定理

2、，HQ⊥MN，∴　∠BQH为二面角a-MN-b的平面角．图答9-44　　设BQ=a，在Rt△BAQ中，∠BQA=90°，∠BAM=45°，∴　，在Rt△BAH中∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴　．在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°，BQ=a，，∵　∠BQH是锐角，∴　∠BQH=45即二面角a-MN-b等于45°．3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB＝CD，侧棱PB⊥底面ABCD，PC＝5，BC＝3，ΔPAB的面积等于6，若平面DPA与平面CPB所成的二面角为α，求α.解析：平面DPA与平面CPB有一公共点P，要画出它们构成的二面角的平面角必

3、须确定它们公共交线，DA和CB的延长线的交点E是它们的另一公共点.由公理二，PE就是二面角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根.解延长DA交CB的延长线于E，连PE，则PE就是平面DPA和平面CPB的交线.∵AB∥DC，AB⊥BC，∴DC⊥BC，PB⊥底面ABCD.∴PB⊥DC，∴DC⊥平面PCE.作CF⊥PE于F，连DF由三垂线定理得PE⊥DF，∴∠DFC＝α.∵AB＝CD，PC＝5，BC＝3，∴PB＝4.SΔPAB＝6，∴AB＝3，CD＝6，＝＝.∴EB＝3，PE＝5.∵PB·EC＝CF·PE，∴CF＝.在直角ΔDCF中，tanα＝＝＝.α＝antan.4.在正方体ABCD

4、—A1B1C1D1中，其棱长为a.(1)求证BD1⊥截面AB1C；(2)求点B到截面AB1C的距离；(3)求BB1与截面AB1C所成的角的余弦值。同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面ACB1.(2)AB=BC=BB1G为△AB1C的中心.AC=aAG=a∴BG==a(3)∠BB1G为所求cos∠BB1G=5.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M为棱CＣ1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD．解析：要证A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直，首先想到DB，先观察A1O垂直DB吗？方法１：发现A1O平分DB，想到什么？（△A1DB是否为等腰

5、三角形）∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB．方法２：A1O⊥DB吗？即DB⊥A1O吗？DB垂直包含A1O的平面吗？（易见DB⊥平面A1ACC1）再观察A1O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与A1O均异面，故难以直接观察，平面MDB中还有何直线？易想到MO，因MO与A1O相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．证明　取CC1中点M，连结MO，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中，∵tan∠AA1O=，tan∠MOC=，∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA

6、＋∠MOC＝９０°，∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD．6.如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值．解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗．解　作AO⊥平面BCD于O，连DO，作MN⊥平面BCD于N，则N∈OD．设AD＝a，则OD＝，∴AO＝，∴MN＝．又∵CM＝，∴CN＝．∴CM与平面BCD所成角的余弦值为．7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1A的中点，N在AB上，且AN

7、∶NB＝１∶３，求证：C1M⊥MN．证明１　设正方体的棱长为ａ，则MN＝，C1M＝，C1N＝，∵MN２＋MC1２＝NC1２，∴C1M⊥MN．8.如图，ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝９０°，AB＝BC＝a，AD＝２a，PA⊥平面ABCD，PA＝a．（１）求证：PC⊥CD；（２）求点B到直线PC的距离．证明　（１）取AD的中点E，连AC，CE，则ABCE是正方形，△CED为等腰直角三角形．∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC为PC在