高中数学经典解题技巧和方法：平面向量.doc

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1、高中数学经典解题技巧：平面向量一、向量的有关概念及运算解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的，，令⊙，下面说法错误的是（）A.若与共线，则⊙B.⊙⊙

2、C.对任意的，有⊙⊙D.(⊙)2【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B，若与共线，则有⊙，故A正确；因为⊙,，而⊙，所以有⊙⊙，故选项B错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性二、与平面向量数量积有关的问题解题技巧：与平面向量数量积有关的问题

3、1．解决垂直问题：均为非零向量。这一条件不能忽视。2．求长度问题：，特别地。3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在中，=90°AC=4，则等于（）A、-16B、-8C、8D、16【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.【思路点拨】由于=90，因此选向量CA，CB为基底.【规范解答】选D.=(CB-CA)·(-CA)=-CB·CA+CA2=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.

4、二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.2.（2010·广东高考文科·Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=()A．6B．5C．4D．3【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出【规范解答】选.，所以.即：，解得：，故选.三、向量与三角函数的综合例3．在直角坐标系（I）若；（II）若向量共线，当【解析】（1）…………2分又解得………………4分或…………6分（II）………………8分…………10分……

5、…………12分注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。例4．（2010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量，满足，则（）A．0B．C．4D．8【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.【思路点拨】根据公式进行计算，或数形结合法，根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.【规范解答】选B（方法一）；（方法二）数形结合法：由条件知，以向量，为邻边的平行

6、四边形为矩形，又因为，所以，则是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为，如图所示.【方法技巧】方法一：灵活应用公式，方法二：熟记向量及向量和的三角形法则例5．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=,=,，则=（）（A）+（B）+（C）+（D）+【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD=CB:CA=1:2这样可以用向量,表示。【规范解答】选B，由题意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB

7、,所以+++【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则例6．（2010·浙江高考文科·Ｔ13）已知平面向量则的值是。【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。【规范解答】由题意可知，结合，解得，所以2=，开方可知答案为.【答案】【方法技巧】（1）；（2）。