高中数学立体几何讲义(二).doc

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1、空间中的垂直关系Ⅰ、直线与平面垂直1、线面垂直定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α。2、直线与平面垂直的判定方法:①利用定义。②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。③其它方法:(Ⅰ)、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。(Ⅱ)、如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个,那么也垂直于另一个面。(Ⅲ)、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂

2、直于他们交线的直线垂直于另一个平面。(Ⅳ)、如果两个相交平面都和第三个平面垂直,那么相交平面的交线也垂直于第三个方面。3、直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。4、三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的投影垂直,那么它也和这条斜线垂直。说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系;5、三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的投影垂直。.练习:1.若表示直线,表示平面,下列条件中,能使的是()2.已知与是两条不同的直线,若直线平面,①若直线,则;②若,

3、则;③若,则;④,则。上述判断正确的是()①②③②③④①③④②④3.设三棱锥的顶点在平面上的射影是,给出以下命题:①若,,则是的垂心②若两两互相垂直,则是的垂心③若,是的中点,则④若,则是的外心其中正确命题的命题是①②③④例1、已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过A点作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC。证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC。而PC∩AC=C,∴BC⊥平面PAC。又∵AE在平面PAC内,∴BC⊥AE。∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC。[反思归纳]证明直线与平面垂直的常用方法有:

4、利用线面垂直的定义;利用线面垂直的判定定理;利用“若直线a∥直线b,直线a⊥平面α,则直线b⊥平面α”。例2、在直三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B⊥AC1,求证:A1B⊥B1C。证明:取A1B1的中点D1,连结C1D1。∵B1C1=A1C1,∴C1D1⊥ABB1A1。连结AD1,则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影,∵A1B⊥AC1,∴A1B⊥AD1。取AB的中点D,连结CD、B1D,则B1D∥AD1,且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影。∵B1D⊥A1B,∴A1B⊥B1C。[反思归纳]证明异面直线垂直的常用方法有:证明其中一直线垂直另外一直线所在

5、的平面;利用三垂线定理及其逆定理。例3.四面体中,分别为的中点,且,,求证:平面证明:取的中点,连结,∵分别为的中点,∴,又∴,∴在中,∴,∴,又,即,∴平面例4.如图是所在平面外一点,平面,是的中点,是上的点,(1)求证:;(2)当,时,求的长。(1)证明:取的中点,连结,∵是的中点,∴,∵平面,∴平面∴是在平面内的射影,取的中点,连结,∵∴,又,∴∴,∴,由三垂线定理得(2)∵,∴,∴,∵平面∴,且,∴例5.如图,直三棱柱中,,侧棱,侧面的两条对角线交于点,的中点为,求证:平面证明:连结,∵∴,在直三棱柱中,∴平面,∵,∴,∴,∵是侧面的两条对角线的交点,∴是与的中点,∴,连结,

6、取的中点,连结,则,∵平面,∴平面,∴是在平面内的射影。在中,在中,,∴∴,∴,∴平面平面与平面垂直1、两个平面垂直的定义:两个相交成直二面角的两个平面互相垂直;相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。2、两平面垂直的判定方法:①利用定义。②判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。推理模式:,。3、两平面垂直的性质定理:若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式:4、向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法:①证明直线与平面垂直的方法:直线的方向向量与平面的法向量平行;②证明平面与平面垂直的方法:两平面的

7、法向量垂直。练习1、(2009广东卷理)给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()。【解析】选D.A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④2、(2009四川卷)如图,已知六棱锥的底面是正六边形,则下列结论正确的是()。A.

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