高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值.doc

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1、第1讲 三角恒等变换与三角函数的化简、求值高考定位 高考对本内容的考查主要有:(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切,C级要求;(2)二倍角的正弦、余弦及正切,B级要求.应用时要适当选择公式,灵活应用,试题类型可能是填空题,同时在解答题中也是必考题,经常与向量综合考查,构成中档题.真题感悟1.(2017·江苏卷)若tan=,则tanα=________.解析 法一 ∵tan===,∴6tanα-6=1+tanα(tanα≠-1),∴tanα=.法二 tanα=tan===.答案 2.(2018·江苏卷)已知

2、α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=-.(1)求cos2α的值;(2)求tan(α-β)的值.解 (1)因为tanα=,tanα=,所以sinα=cosα.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,因此,cos2α=2cos2α-1=-.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(α+β)==,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=,所以tan2α==-,因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.考点整合1.三角函数公式(1)

3、同角关系:sin2α+cos2α=1,=tanα.(2)诱导公式:对于“±α,k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ±sinαsinβ;tan(α±β)=.(4)二倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(5)辅助角公式:asinx+bcosx=sin(

4、x+φ),其中cosφ=,sinφ=.2.公式的变形与应用(1)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ);tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).(2)升幂、降幂公式1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2;sin2α=,cos2α=.(3)角的拆分与组合2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;α=-=+等.热点一 三角函数式的化简与求值【例1】(1)(2018·泰州模拟)化简:=________.

5、(2)若tanα=2tan,则=________.解析 (1)原式=====cos2x.(2)======3.答案 (1)cos2x (2)3探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.【训练1】(1)(2018·徐州调研)计算:tan70°cos10°(tan20°-1)=________.(2)若α∈,且3cos2α=sin,则sin2α的值为_

6、_______.解析 (1)原式=·cos10°===-=-1.(2)由cos2α=sin=sin=2sincos代入原式,得6sincos=sin,∵α∈,∴-α∈,sin≠0,∴cos=,∴sin2α=cos=2cos2-1=-.答案 (1)-1 (2)-热点二 三角函数的求值(求角)【例2】(1)(2018·全国Ⅲ卷改编)若sinα=,则cos2α=________.(2)(2017·南京、盐城联考)已知α,β为锐角,cosα=,sin(α+β)=,则cosβ=________.(3)已知α,β∈(

7、0,π),且tan(α-β)=,tanβ=-,则2α-β的值为________.解析 (1)cos2α=1-2sin2α=1-2×=.(2)∵α为锐角,∴sinα==.∵α,β∈,∴0<α+β<π.又∵sin(α+β)<sinα,∴α+β>,∴cos(α+β)=-.cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×==.(3)∵tanα=tan[(α-β)+β]===>0,∴0<α<.又∵tan2α===>0,∴0<2α<,∴tan(2α-β)===1.∵ta

8、nβ=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=-.答案 (1) (2) (3)-探究提高 (1)给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法;(2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角.【训练2】(1)(2015·江苏卷)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为________.(2)已知sinα=,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于________.

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