高一数学衔接因式分解.docx

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1、第2讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．2.1公式法在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(立方和公式)；(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：；【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)(2)解：(1)(2)说明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，

2、经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1)(2)分析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．解：(1)．(2)2.2提取公因式法与分组分解法【例3】把分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.解：【例4】分解因式：（1）；（2）．解：（1）；（2）．【例5】分解因式：（1）；（2）．解：（1）===．或＝＝＝＝＝．（2）===

3、．或===．【例6】把分解因式．分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．解：练习：1．多项式中各项的公因式是__________．2．_____．3．____．4．_________．5．______．6．_________________7．【答案】1．；2．；3．；4．；5．．6．7．2.3十字相乘法2.3.1形如型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．因此，，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次

4、三项式分解因式．我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法．【例7】把下列各式因式分解：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）；（4）．解：（1）如图1.1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x用1来表示（如图2所示）．（2）由图3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图4，得＝（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)

5、（如图5）．练习：把下列各式因式分解(1)(2)(3)(4)解：(1)，∴．(2)，∴．(3)，∴．(4)，∴．【例8】把下列各式因式分解：(1)(2)分析：(1)把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数；(2)由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．解：(1)．(2)．2.3.2形如一般二次三项式型的因式分解我们知道，．反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画

6、十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法．【例9】把下列各式因式分解：(1)(2)解：(1)(2)说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．2.4配方法【例10】把下列关于x的二次多项式分解因式：（1）；（2）．解：（1）令=0，则解得，，∴==．（2）令=0，则解得，，∴=．【练习】分解因式解：说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式

7、化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．2.5拆、添项法【例11】分解因式分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解：说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将拆成，将多项式分成两组和．1．把下列各式分解因式：(1)(2)(3)(4)(